ITA 2020 — questão 2 de Física

Resolução comentada

O que a questão pede: julgar três afirmações sobre dois mísseis de mesma rapidez $v > v_a$: um vai em linha reta até o ponto de encontro, o outro está sempre apontado para o alvo (curva de perseguição).

II. Verdadeira. O míssil 1 tem velocidade constante (em módulo e direção). No disparo ele e o alvo estão na mesma altura ($y = 0$). Para se encontrarem no mesmo ponto, no mesmo instante $t$, os dois têm de subir o mesmo tanto no mesmo tempo:

$$v_y\,t = v_a\,t \;\Rightarrow\; v_y = v_a$$

Enquanto isso, a componente $x$ cobre a distância $d$: $v_x\,t_1 = d$, com $v_x = \sqrt{v^2 - v_a^2}$. Logo

$$t_1 = \frac{d}{\sqrt{v^2 - v_a^2}}$$

I. Falsa. Esse $t_1$ é o menor tempo possível. Para atingir o alvo no instante $t$, o míssil precisa chegar ao ponto $(0,\ v_a t)$, que está a uma distância $\sqrt{d^2 + v_a^2t^2}$ do lançamento. Como ele anda no máximo $v\,t$ nesse tempo:

$$v\,t \ge \sqrt{d^2 + v_a^2\,t^2}$$

$$t \ge \frac{d}{\sqrt{v^2 - v_a^2}} = t_1$$

A igualdade só acontece se o caminho for a reta. O míssil 2 faz uma curva, que é mais longa que o segmento até o seu ponto de encontro: ele sempre demora mais. Os tempos nunca podem ser iguais.

Conferindo com a conta exata da perseguição: para o míssil 2, a grandeza $v\,r + v_a\,s$ (com $r$ a distância míssil–alvo e $s$ quanto o alvo está à frente em $y$) diminui num ritmo constante, $v^2 - v_a^2$. Ela vale $v\,d$ no disparo e zero na colisão, então

$$t_2 = \frac{v\,d}{v^2 - v_a^2}$$

$$\frac{t_2}{t_1} = \frac{v}{\sqrt{v^2 - v_a^2}} > 1$$

III. Verdadeira. No disparo o míssil 2 aponta para a origem: sai na horizontal, para a esquerda (inclinação $dy/dx = 0$). Com o alvo subindo, o míssil vai virando para cima, e perto da colisão está quase vertical, subindo enquanto $x$ diminui (inclinação cada vez mais negativa, tendendo a $-\infty$). Lida no sentido de $x$ crescente (de $0$ para $d$), a inclinação cresce, de $-\infty$ até $0$: isso é $d^2y/dx^2 > 0$, concavidade positiva (voltada para $+y$).

Sequência: F, V, V.

⚠️ A armadilha: achar que, como os mísseis têm a mesma rapidez, chegam juntos se a distância for a mesma (marcando V na I). O míssil que persegue corre atrás de onde o alvo está, não de onde ele vai estar; por isso percorre mais e chega depois. Quem marca V na I cai na A ou na C.

A ideia em uma frase: mirar no ponto de encontro (componente y igual à do alvo) é o caminho mais curto e mais rápido; perseguir o alvo gera uma curva voltada para cima e sempre mais lenta.

Resposta: alternativa E (F, V e V).