ITA 2020 — questão 10 de Física

Gabarito EMagnetismo — torque magnético sobre espiras num cilindro em plano inclinado1ª fase · Física

Enunciado da questão 10 de Física do ITA 2020 — Enunciado — imagem da prova

Enunciado em texto

Constantes dadas na prova: Considere $g$ como o módulo da aceleração local da gravidade e, quando necessário, use $g = 10\ \text{m/s}^2$ .

Ao redor de um cilindro de massa $m$ , raio $a$ e comprimento $b$ , são enroladas simétrica e longitudinalmente $N$ espiras. Estas são dispostas paralelamente a um plano inclinado onde se encontra um cilindro, que não desliza devido ao atrito com a superfície do plano. Considerando a existência de um campo magnético uniforme e vertical $\vec{B}$ na região, assinale a intensidade da corrente $i$ que deve circular nas espiras para que o conjunto permaneça em repouso na posição indicada pela figura.

[Figura: um plano inclinado de ângulo $\theta$ (vértice à direita, embaixo), com a rampa subindo para a esquerda. Sobre ele, um cilindro de massa $m$ e raio $a$ , visto de topo, com “N espiras” enroladas ao longo do comprimento, num plano que passa pelo eixo e é paralelo à rampa. Dois fios, com a corrente $i$ entrando e saindo, chegam às espiras pela esquerda. Setas verticais para cima, sob a rampa, indicam o campo $\vec{B}$ ; à direita, $\vec{g}$ para baixo.]

A) $\dfrac{mg}{2bB}$ .

B) $\dfrac{Nmg}{2aB}$ .

C) $\dfrac{Nmg}{bB}$ .

D) $\dfrac{mg}{2aBN}$ .

E) $\dfrac{mg}{2bBN}$ .

(Enunciado e figura: Vestibular ITA 2020, 1ª fase — ITA.)

Transcrição do enunciado original da prova, reproduzido para fins de estudo. Todos os direitos do enunciado pertencem ao Instituto Tecnológico de Aeronáutica (ITA).

Resolução comentada

O que a questão pede: a corrente que mantém o cilindro parado na rampa, sem rolar.

Passo 1 — o que o campo faz. Numa espira fechada em campo uniforme, a força magnética total é zero: o campo só aplica um torque (binário). Cada espira é um retângulo de lados $b$ (comprimento do cilindro) e $2a$ (o diâmetro), então a área é $A = 2ab$ . O torque nas $N$ espiras é

$\tau_B = N\,i\,A\,B\,\operatorname{sen}\varphi$

em que $\varphi$ é o ângulo entre $\vec{B}$ e a normal ao plano das espiras.

Passo 2 — o ângulo. As espiras estão paralelas à rampa, então sua normal é perpendicular à rampa, e faz com a vertical o mesmo ângulo $\theta$ da inclinação. Logo $\varphi = \theta$ :

$\tau_B = N\,i\,(2ab)\,B\,\operatorname{sen}\theta$

Passo 3 — o torque do peso. Tome os torques em relação ao ponto de contato com a rampa: normal e atrito passam por ele e não contam. O peso age no centro, e seu braço é $a\,\operatorname{sen}\theta$ :

$\tau_P = m\,g\,a\,\operatorname{sen}\theta$

Passo 4 — equilíbrio de rotação (o binário magnético tem o mesmo valor em relação a qualquer ponto):

$2N\,i\,a\,b\,B\,\operatorname{sen}\theta = m\,g\,a\,\operatorname{sen}\theta$

$i = \frac{mg}{2bBN}$

Conferindo pelo centro do cilindro: o atrito estático vale $f = mg\,\operatorname{sen}\theta$ (equilíbrio ao longo da rampa) e faz torque $f\,a = mg\,a\,\operatorname{sen}\theta$ , que o torque magnético tem de compensar. Mesma equação. Repare que $\theta$ e $a$ somem da resposta.

⚠️ A armadilha: esquecer que são $N$ espiras, o que dá $mg/(2bB)$ , a alternativa A. Outra é achar que existe uma força magnética resultante “segurando” o cilindro: em campo uniforme, a força total numa espira é nula; quem segura é o torque.

A ideia em uma frase: o campo uniforme não puxa a espira, só a gira: torque $NiAB\,\operatorname{sen}\theta$ contra o torque do peso em torno do ponto de contato.

Resposta: alternativa E ( $mg/(2bBN)$ ).

Vídeo em breve

A resolução em vídeo desta questão ainda não foi gravada. A explicação escrita acima está completa, passo a passo. Novos vídeos saem no canal do Professor Filatte.

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