ITA 2020 — questão 14 de Física

Gabarito EÓptica — lente convergente e refração num bloco (lei de Snell)1ª fase · Física

Enunciado da questão 14 de Física do ITA 2020 — Enunciado — imagem da prova

Enunciado em texto

Constantes dadas na prova: Considere $g$ como o módulo da aceleração local da gravidade e, quando necessário, use $g = 10\ \text{m/s}^2$ .

Dois raios luminosos paralelos e simétricos em relação ao eixo óptico, interdistantes de 2 mm, devem ser focados em um ponto P no interior de um bloco transparente, a 1 mm de sua superfície, conforme mostra a figura. Para tal, utiliza-se uma lente delgada convergente com distância focal de 1 mm. Considerando que o bloco tem índice de refração $n = \sqrt{2}$ , a distância $L$ entre o vértice V da lente e a superfície do bloco deve ser ajustada para

[Figura: à esquerda, dois raios horizontais, paralelos ao eixo óptico e separados por 2 mm, incidem numa “Lente delgada” convergente, cujo vértice V está sobre o eixo. À direita, um “Bloco transparente” retangular, com a face esquerda perpendicular ao eixo; o ponto P está no eixo, dentro do bloco, a 1 mm da face esquerda. A distância $L$ é medida do vértice V até essa face.]

A) 1 mm.

B) $\sqrt{2}/2$ mm.

C) $(1 - \sqrt{2}/2)$ mm.

D) $\sqrt{3}/3$ mm.

E) $(1 - \sqrt{3}/3)$ mm.

(Enunciado e figura: Vestibular ITA 2020, 1ª fase — ITA.)

Transcrição do enunciado original da prova, reproduzido para fins de estudo. Todos os direitos do enunciado pertencem ao Instituto Tecnológico de Aeronáutica (ITA).

Resolução comentada

O que a questão pede: a que distância da lente deve ficar a face do bloco para que os raios, depois de refratados, se encontrem em P, 1 mm dentro do bloco.

Passo 1 — depois da lente. Raios paralelos ao eixo convergem para o foco, a 1 mm da lente. Cada raio entra na lente a 1 mm do eixo (metade de 2 mm) e chega ao eixo depois de 1 mm na horizontal: ele desce inclinado de 45°.

$\operatorname{tg}\alpha = \frac{1\ \text{mm}}{1\ \text{mm}} = 1 \;\Rightarrow\; \alpha = 45^{\circ}$

Passo 2 — a refração na face do bloco. A face é perpendicular ao eixo, então o ângulo de incidência é 45°. Pela lei de Snell, com o ar de índice 1:

$1 \cdot \operatorname{sen}45^{\circ} = \sqrt{2}\,\operatorname{sen}\beta$

$\operatorname{sen}\beta = \frac{\sqrt{2}/2}{\sqrt{2}} = \frac{1}{2} \;\Rightarrow\; \beta = 30^{\circ}$

Passo 3 — onde o raio deve cruzar a face. Dentro do bloco, o raio desce a 30° e tem de chegar ao eixo depois de 1 mm. Então ele precisa cruzar a face a uma altura

$h = 1 \cdot \operatorname{tg}30^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{3}\ \text{mm}$

Passo 4 — a distância $L$ . Entre a lente e o bloco, o raio desce a 45°: perde 1 mm de altura por mm andado. Saindo da altura 1 mm, depois de andar $L$ está na altura $1 - L$ :

$1 - L = \frac{\sqrt{3}}{3}$

$L = \left(1 - \frac{\sqrt{3}}{3}\right)\ \text{mm} \approx 0{,}42\ \text{mm}$

Conferindo: sem o bloco, os raios se cruzariam a 1 mm da lente. O bloco “empurra” o encontro para mais longe (os raios ficam menos inclinados dentro dele), então a face tem de ficar antes do foco: $L < 1$ mm. E de fato $L + 1 \approx 1{,}42$ mm $> 1$ mm.

⚠️ A armadilha: usar a fórmula da profundidade aparente ( $p' = p/n$ ), que só vale para raios quase paralelos ao eixo. Aqui os raios chegam a 45°. Com ela, a face ficaria a $1/\sqrt{2}$ mm antes do foco, ou seja, $L = (1 - \sqrt{2}/2)$ mm, a alternativa C.

A ideia em uma frase: siga um raio: 45° depois da lente, 30° dentro do bloco (Snell), e ajuste $L$ para que ele chegue ao eixo exatamente 1 mm depois da face.

Resposta: alternativa E ( $(1 - \sqrt{3}/3)$ mm).

Vídeo em breve

A resolução em vídeo desta questão ainda não foi gravada. A explicação escrita acima está completa, passo a passo. Novos vídeos saem no canal do Professor Filatte.

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