UFRGS 2016 — questão 24 de Física

Resolução comentada

O que a questão pede: como o raio e a energia das órbitas do hidrogênio dependem do número quântico $n$ no modelo de Bohr.

Passo 1 — os raios. No modelo de Bohr, o momento angular do elétron é quantizado ($mvr = n\hbar$). Juntando isso à força elétrica como resultante centrípeta, o raio cresce com o quadrado de $n$:

$$R_n = n^2 R_1$$

Passo 2 — as energias. A energia total (cinética + potencial elétrica) é negativa, porque o elétron está ligado, e é inversamente proporcional a $R_n$, ou seja, a $n^2$:

$$E_n = \frac{E_1}{n^2} = -\frac{13{,}6}{n^2}\ \text{eV}$$

Conferindo: para $n = 2$, $E_2 = -3{,}4$ eV, maior (menos negativa) que $E_1$, como deve ser para uma órbita mais externa. Com $E_n = n^2E_1$ (alternativa B), daria $-54{,}4$ eV, mais ligada que o estado fundamental, o que não faz sentido.

⚠️ A armadilha: achar que, como o raio aumenta com $n^2$, a energia também "aumenta" multiplicando por $n^2$ (alternativa B). A energia aumenta, sim, mas no sentido de ficar menos negativa: ela se aproxima de zero como $1/n^2$.

A ideia em uma frase: no átomo de Bohr, raio vai com $n^2$ e energia com $1/n^2$.

Resposta: alternativa A ($R_n = n^2R_1$ e $E_n = E_1/n^2$).