UNICAMP 2008 (2ª fase) — questão 7 de Física

DiscursivaÓptica — refração (lei de Snell) no leitor de CD; movimento circular com velocidade linear constante2ª fase · Física (discursiva)

Enunciado da questão 7 de Física do UNICAMP 2008 (2ª fase) — Enunciado — imagem da prova

Enunciado em texto

A informação digital de um CD é armazenada em uma camada de gravação que reside abaixo de uma camada protetora, composta por um plástico de 1,2 mm de espessura. A leitura da informação é feita através de um feixe de laser que passa através de uma lente convergente e da camada protetora para ser focalizado na camada de gravação, conforme representa a figura abaixo. Nessa configuração, a área coberta pelo feixe na superfície do CD é relativamente grande, reduzindo os distúrbios causados por riscos na superfície.

(Figura: um feixe de laser passa por uma lente e converge em forma de cone; a borda do cone faz 30° com a vertical. O feixe atinge a superfície do CD num círculo de raio R (medido a partir do eixo do feixe) e, dentro da camada de proteção, de 1,2 mm de espessura, converge até um único ponto, o ponto de leitura, na camada de gravação, logo abaixo.)

a) Considere que o material da camada de proteção tem índice de refração n = 1,5, e que o ângulo de incidência do feixe é de 30° em relação ao eixo normal à superfície do CD. Usando a Lei de Snell, $n_1\,\text{sen}\,\theta_1 = n_2\,\text{sen}\,\theta_2$ , calcule o raio R do feixe na superfície do CD. Considere R = 0 no ponto de leitura.

b) Durante a leitura, a velocidade angular de rotação do CD varia conforme a distância do sistema ótico de leitura em relação ao eixo de rotação. Isso é necessário para que a velocidade linear do ponto de leitura seja constante. Qual deve ser a razão entre a velocidade angular de rotação do CD quando o sistema ótico está na parte central, de raio $r_1$ = 2,0 cm, e velocidade angular de rotação do CD quando o mesmo está na parte externa, de raio $r_2$ = 10 cm?

(Enunciado e figura: Vestibular Unicamp 2008, 2ª fase — Comvest/Unicamp.)

Transcrição do enunciado original da prova, reproduzido para fins de estudo. Todos os direitos do enunciado pertencem à UNICAMP.

Resolução comentada

O que a questão pede: (a) o raio do círculo iluminado na superfície do CD; (b) a razão $\omega_1/\omega_2$ entre as velocidades angulares no raio de 2,0 cm e no de 10 cm.

Item (a) — passo 1: o ângulo dentro do plástico. O feixe vem do ar ( $n_1 = 1$ ) a 30° da normal e entra no plástico ( $n_2 = 1{,}5$ ):

$1 \times \text{sen}\,30^{\circ} = 1{,}5\,\text{sen}\,\theta_2$

$\text{sen}\,\theta_2 = \frac{0{,}5}{1{,}5} = \frac{1}{3}$

Item (a) — passo 2: a geometria. Dentro da camada, o raio de luz vai da borda do círculo (a R do eixo) até o ponto de leitura (no eixo), descendo 1,2 mm. Então $R = 1{,}2\,\text{tg}\,\theta_2$ . Do seno para a tangente:

$\cos\theta_2 = \sqrt{1 - \tfrac{1}{9}} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$

$\text{tg}\,\theta_2 = \frac{1/3}{2\sqrt{2}/3} = \frac{\sqrt{2}}{4} \approx 0{,}354$

$R = 1{,}2 \times 0{,}354 \approx 0{,}42\ \text{mm}$

Item (b) — velocidade linear constante. Como $v = \omega r$ tem de ser a mesma nos dois raios, $\omega_1 r_1 = \omega_2 r_2$ :

$\frac{\omega_1}{\omega_2} = \frac{r_2}{r_1} = \frac{10}{2{,}0} = 5$

No centro o CD gira 5 vezes mais rápido que na borda.

⚠️ A armadilha: no item (a), usar o ângulo de 30° dentro do plástico, esquecendo a refração: dá $R = 1{,}2\,\text{tg}\,30^{\circ} \approx 0{,}69$ mm. O feixe se fecha ao entrar no plástico, e o ângulo cai para cerca de 19,5°. No item (b), inverter a razão e responder 1/5.

A ideia em uma frase: Snell dá o ângulo dentro do plástico, e a tangente desse ângulo vezes a espessura dá o raio; com v constante, ω é inversamente proporcional a r.

Resposta: (a) $R = 0{,}3\sqrt{2} \approx 0{,}42$ mm; (b) $\omega_1/\omega_2 = 5$ .

Vídeo em breve

A resolução em vídeo desta questão ainda não foi gravada. A explicação escrita acima está completa, passo a passo. Novos vídeos saem no canal do Professor Filatte.

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