UNICAMP 2008 (2ª fase) — questão 4 de Física

DiscursivaHidrostática — densidade e flutuação de latas de refrigerante; densidade de um gás ideal2ª fase · Física (discursiva)

Enunciado da questão 4 de Física do UNICAMP 2008 (2ª fase) — Enunciado — imagem da prova

Enunciado em texto

Uma lata de refrigerante contém certa quantidade de açúcar, no caso de um refrigerante comum, ou de adoçante, no caso de um refrigerante dietético.

a) Considere uma lata de refrigerante comum contendo 302 ml de água e 40 g de açúcar, e outra de refrigerante dietético, contendo 328 ml de água e uma massa desprezível de adoçante. Mostre qual das duas latas deveria boiar em um recipiente com água, cuja densidade é $d_a = 1{,}0\ \text{g/cm}^3$ . A massa da lata de refrigerante vazia é igual a 15,0 g e seu volume total é de 350 ml. Neste item, despreze o volume ocupado pelo material da lata e a massa de gás carbônico no seu interior.

b) Suponha, agora, uma outra situação na qual o gás carbônico ocupa certo volume na parte superior da lata, a uma pressão $P = 3{,}0 \times 10^5\ \text{N/m}^2$ para uma temperatura T = 300 K. A massa molar do gás carbônico vale 44 g/mol e, assumindo que o mesmo se comporte como um gás ideal, calcule a densidade de gás carbônico na parte superior da lata. A lei dos gases ideais é dada por PV = nRT, onde R = 8,3 J/mol-K e n é o número de moles do gás.

(Enunciado: Vestibular Unicamp 2008, 2ª fase — Comvest/Unicamp.)

Transcrição do enunciado original da prova, reproduzido para fins de estudo. Todos os direitos do enunciado pertencem à UNICAMP.

Resolução comentada

O que a questão pede: (a) qual lata boia, comparando a densidade média de cada uma com a da água; (b) a densidade do gás carbônico no alto da lata.

Item (a) — a regra. Um corpo inteiro boia se sua densidade média for menor que a do líquido. A densidade média da lata é a massa total (lata + conteúdo) dividida pelo volume total, 350 ml = 350 cm³. A água tem 1,0 g/cm³, então 302 ml de água pesam 302 g.

Refrigerante comum:

$d_c = \frac{302 + 40 + 15}{350} = \frac{357}{350}$

$d_c = 1{,}02\ \text{g/cm}^3 > 1{,}0$

Refrigerante dietético:

$d_d = \frac{328 + 15}{350} = \frac{343}{350}$

$d_d = 0{,}98\ \text{g/cm}^3 < 1{,}0$

Logo a lata dietética boia e a comum afunda. Os 40 g de açúcar fazem a diferença.

Item (b) — densidade de um gás ideal. Com n = m/M (M = massa molar), a lei dos gases dá uma fórmula direta para a densidade:

$PV = \frac{m}{M}RT \;\Rightarrow\; d = \frac{m}{V} = \frac{PM}{RT}$

No SI, a massa molar vai em kg/mol: 44 g/mol = 0,044 kg/mol.

$d = \frac{3{,}0 \times 10^5 \times 0{,}044}{8{,}3 \times 300}$

$d = \frac{13\,200}{2\,490} \approx 5{,}3\ \text{kg/m}^3$

⚠️ A armadilha: no item (b), deixar a massa molar em g/mol. O resultado sai 1 000 vezes maior (cerca de 5 300), e a unidade fica errada: com P em N/m² e R em J/mol·K, só kg/mol dá kg/m³.

A ideia em uma frase: boia quem tem densidade média menor que a da água; e a densidade de um gás ideal é PM/RT.

Resposta: (a) a lata dietética boia ( $d \approx 0{,}98$ g/cm³), a comum afunda ( $d \approx 1{,}02$ g/cm³); (b) $d \approx 5{,}3\ \text{kg/m}^3$ .

Vídeo em breve

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