UNICAMP 2008 (2ª fase) — questão 6 de Física

DiscursivaGravitação — lei da gravitação universal e velocidade orbital (matéria escura)2ª fase · Física (discursiva)

Enunciado da questão 6 de Física do UNICAMP 2008 (2ª fase) — Enunciado — imagem da prova

Enunciado em texto

Observações astronômicas indicam que as velocidades de rotação das estrelas em torno de galáxias são incompatíveis com a distribuição de massa visível das galáxias, sugerindo que grande parte da matéria do Universo é escura, isto é, matéria que não interage com a luz. O movimento de rotação das estrelas resulta da força de atração gravitacional que as galáxias exercem sobre elas.

A curva no gráfico abaixo mostra como a força gravitacional $F_G = \dfrac{GMm}{r^2}$ , que uma galáxia de massa M exerce sobre uma estrela externa à galáxia, deve variar em função da distância r da estrela em relação ao centro da galáxia, considerando-se $m = 1{,}0 \times 10^{30}$ kg para a massa da estrela. A constante de gravitação G vale $6{,}7 \times 10^{-11}\ \text{m}^3\text{kg}^{-1}\text{s}^{-2}$ .

(Gráfico: $F_G$ (N) no eixo vertical, de $2{,}0 \times 10^{19}$ a $1{,}0 \times 10^{20}$ , com linhas a cada $2{,}0 \times 10^{19}$ ; r (m) no eixo horizontal, de $1{,}0 \times 10^{20}$ a $2{,}0 \times 10^{20}$ , com marcas a cada $0{,}2 \times 10^{20}$ . A curva desce: passa por $F_G = 1{,}0 \times 10^{20}$ N em $r = 1{,}0 \times 10^{20}$ m, por $4{,}0 \times 10^{19}$ N em $r = 1{,}6 \times 10^{20}$ m e chega a cerca de $2{,}5 \times 10^{19}$ N em $r = 2{,}0 \times 10^{20}$ m.)

a) Determine a massa M da galáxia.

b) Calcule a velocidade de uma estrela em órbita circular a uma distância $r = 1{,}6 \times 10^{20}$ m do centro da galáxia.

(Enunciado e figura: Vestibular Unicamp 2008, 2ª fase — Comvest/Unicamp.)

Transcrição do enunciado original da prova, reproduzido para fins de estudo. Todos os direitos do enunciado pertencem à UNICAMP.

Resolução comentada

O que a questão pede: (a) a massa da galáxia, lendo um ponto do gráfico; (b) a velocidade de uma estrela em órbita circular a 1,6 × 10²⁰ m do centro.

Item (a) — isolar M. Qualquer ponto da curva serve, porque a curva já é GMm/r². Tomando o ponto bem lido $r = 1{,}6 \times 10^{20}$ m, $F_G = 4{,}0 \times 10^{19}$ N:

$M = \frac{F_G\,r^2}{G\,m}$

$M = \frac{4{,}0 \times 10^{19} \times 2{,}56 \times 10^{40}}{6{,}7 \times 10^{-11} \times 10^{30}}$

$M = \frac{1{,}02 \times 10^{60}}{6{,}7 \times 10^{19}}$

$M \approx 1{,}5 \times 10^{40}\ \text{kg}$

Conferindo com outro ponto: em $r = 1{,}0 \times 10^{20}$ m, $F_G = 1{,}0 \times 10^{20}$ N, e $M = 10^{60}/(6{,}7 \times 10^{19}) \approx 1{,}5 \times 10^{40}$ kg. Mesmo resultado.

Item (b) — a gravidade faz o papel de força centrípeta. Na órbita circular, a força gravitacional (lida no gráfico: $4{,}0 \times 10^{19}$ N) é a resultante centrípeta:

$F_G = \frac{m\,v^2}{r} \;\Rightarrow\; v = \sqrt{\frac{F_G\,r}{m}}$

$v = \sqrt{\frac{4{,}0 \times 10^{19} \times 1{,}6 \times 10^{20}}{10^{30}}}$

$v = \sqrt{6{,}4 \times 10^{9}} = 8{,}0 \times 10^{4}\ \text{m/s}$

⚠️ A armadilha: no item (a), esquecer de elevar r ao quadrado, ou errar a potência de 10 ao fazer $(1{,}6 \times 10^{20})^2 = 2{,}56 \times 10^{40}$ . Com contas tão grandes, separar mantissa e potência de 10 evita erro.

A ideia em uma frase: qualquer ponto da curva F × r dá a massa por M = Fr²/Gm, e na órbita circular a gravidade é a força centrípeta.

Resposta: (a) $M \approx 1{,}5 \times 10^{40}$ kg; (b) $v = 8{,}0 \times 10^{4}$ m/s.

Vídeo em breve

A resolução em vídeo desta questão ainda não foi gravada. A explicação escrita acima está completa, passo a passo. Novos vídeos saem no canal do Professor Filatte.

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