UNICAMP 2008 (2ª fase) — questão 11 de Física

DiscursivaFísica moderna — nível fundamental do positrônio e aniquilação elétron-pósitron2ª fase · Física (discursiva)
Enunciado — imagem da prova
Enunciado da questão 11 de Física do UNICAMP 2008 (2ª fase)

Enunciado em texto

Com um pouco de capacidade de interpretação do enunciado, é possível entender um problema de Física moderna, como o exposto abaixo, com base nos conhecimentos de ensino médio.

O Positrônio é um átomo formado por um elétron e sua anti-partícula, o pósitron, que possui carga oposta e massa igual à do elétron. Ele é semelhante ao átomo de Hidrogênio, que possui um elétron e um próton. A energia do nível fundamental desses átomos é dada por E1=−13,6(1+memp) eVE_1 = \dfrac{-13{,}6}{\left(1 + \dfrac{m_e}{m_p}\right)}\,eV, onde mem_e é a massa do elétron e mpm_p é a massa do pósitron, no caso do Positrônio, ou a massa do próton, no caso do átomo de Hidrogênio. Para o átomo de Hidrogênio, como a massa do próton é muito maior que a massa do elétron, E1E_1 = −13,6 eV.

a) Calcule a energia do nível fundamental do Positrônio.

b) Ao contrário do átomo de Hidrogênio, o Positrônio é muito instável, pois o elétron pode se aniquilar rapidamente com a sua anti-partícula, produzindo fótons de alta energia, chamados raios gama. Considerando que as massas do elétron e do pósitron são me=mp=9×10−31m_e = m_p = 9 \times 10^{-31} kg, e que, ao se aniquilarem, toda a sua energia, dada pela relação de Einstein Ep+Ee=mec2+mpc2E_p + E_e = m_e c^2 + m_p c^2, é convertida na energia de dois fótons gama, calcule a energia de cada fóton produzido. A velocidade da luz é c=3,0×108c = 3{,}0 \times 10^8 m/s.

(Enunciado: Vestibular Unicamp 2008, 2ª fase — Comvest/Unicamp.)

Transcrição do enunciado original da prova, reproduzido para fins de estudo. Todos os direitos do enunciado pertencem à UNICAMP.

Resolução comentada

O que a questão pede: (a) a energia do nível fundamental do positrônio, usando a fórmula dada; (b) a energia de cada um dos dois fótons gama produzidos na aniquilação.

Item (a) — massas iguais. No positrônio, o “parceiro” do elétron é o pósitron, que tem a mesma massa: me/mp=1m_e/m_p = 1.

E1=−13,61+1 eV=−6,8 eVE_1 = \frac{-13{,}6}{1 + 1}\ \text{eV} = -6{,}8\ \text{eV}

Metade da energia do hidrogênio: no hidrogênio o próton, muito pesado, fica praticamente parado; no positrônio as duas partículas se movem, e o átomo fica menos ligado.

Item (b) — toda a massa vira energia. A energia total, mec2+mpc2=2 mc2m_e c^2 + m_p c^2 = 2\,m c^2, é dividida igualmente entre os dois fótons (eles saem em sentidos opostos, com a mesma energia, para que a quantidade de movimento total continue nula). Cada fóton leva mc2mc^2:

Eγ=2 mc22=mc2E_{\gamma} = \frac{2\,m c^2}{2} = m c^2

Eγ=9×10−31×(3,0×108)2E_{\gamma} = 9 \times 10^{-31} \times (3{,}0 \times 10^8)^2

Eγ=8,1×10−14 JE_{\gamma} = 8{,}1 \times 10^{-14}\ \text{J}

Conferindo: em elétron-volts, 8,1×10−14/1,6×10−19≈5×1058{,}1 \times 10^{-14}/1{,}6 \times 10^{-19} \approx 5 \times 10^5 eV, os conhecidos 0,51 MeV dos fótons de aniquilação.

⚠️ A armadilha: no item (b), dar a energia total (1,62×10−131{,}62 \times 10^{-13} J) como se fosse de cada fóton. São dois fótons, e a energia se divide entre eles.

A ideia em uma frase: com massas iguais, a energia do positrônio é metade da do hidrogênio; e na aniquilação cada fóton leva a energia de repouso de uma partícula, mc².

Resposta: (a) E1=−6,8E_1 = -6{,}8 eV; (b) 8,1×10−148{,}1 \times 10^{-14} J por fóton.

Vídeo em breve

A resolução em vídeo desta questão ainda não foi gravada. A explicação escrita acima está completa, passo a passo. Novos vídeos saem no canal do Professor Filatte.

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