UNICAMP 2008 (2ª fase) — questão 3 de Física

DiscursivaEnergia — força elástica e conservação da energia (cabo de teia do Homem-Aranha)2ª fase · Física (discursiva)

Enunciado da questão 3 de Física do UNICAMP 2008 (2ª fase) — Enunciado — imagem da prova

Enunciado em texto

Nas cenas dos filmes e nas ilustrações gráficas do Homem-aranha, a espessura do cabo de teia de aranha que seria necessário para sustentá-lo é normalmente exagerada. De fato, os fios de seda da teia de aranha são materiais extremamente resistentes e elásticos. Para deformações $\Delta L$ relativamente pequenas, um cabo feito de teia de aranha pode ser aproximado por uma mola de constante elástica k dada pela fórmula $k = \left(10^{10}\,\dfrac{A}{L}\right)$ N/m, onde L é o comprimento inicial e A a área da seção transversal do cabo. Para os cálculos abaixo, considere a massa do Homem-aranha M = 70 kg.

(Figura: três desenhos. (1) O Homem-Aranha pendurado de cabeça para baixo, preso por um cabo de teia ao teto. (2a) O Homem-Aranha caindo, com velocidade $\vec{V}_0$ para baixo, no instante em que o cabo, preso no alto, se estica; uma cota $\Delta L$ vai dessa posição até a posição mais baixa. (2b) O Homem-Aranha na posição mais baixa, $\Delta L$ abaixo, com V = 0.)

a) Calcule a área A da seção transversal do cabo de teia de aranha que suportaria o peso do Homem-aranha com uma deformação de 1,0 % do comprimento inicial do cabo.

b) Suponha que o Homem-aranha, em queda livre, lance verticalmente um cabo de fios de teia de aranha para interromper a sua queda. Como ilustra a figura (2a), no momento em que o cabo se prende, a velocidade de queda do Homem-aranha tem módulo $V_0$ . No ponto de altura mínima mostrado em (2b), o cabo de teia atinge uma deformação máxima de $\Delta L$ = 2,0 m e o Homem-aranha tem, nesse instante, velocidade V = 0. Sendo a constante elástica do cabo de teia de aranha, neste caso, k = 7700 N/m, calcule $V_0$ .

(Enunciado e figura: Vestibular Unicamp 2008, 2ª fase — Comvest/Unicamp.)

Transcrição do enunciado original da prova, reproduzido para fins de estudo. Todos os direitos do enunciado pertencem à UNICAMP.

Resolução comentada

O que a questão pede: (a) a área da seção do cabo que segura o herói parado esticando só 1 %; (b) a velocidade do herói no instante em que o cabo começa a esticar, sabendo quanto ele estica até parar.

Item (a) — equilíbrio. Parado, a força elástica do cabo equilibra o peso (g = 10 m/s²): $k\,\Delta L = Mg = 700$ N. A deformação é 1 % do comprimento: $\Delta L = 0{,}01\,L$ . Substituindo k:

$10^{10}\,\frac{A}{L} \times 0{,}01\,L = 700$

$10^{8}\,A = 700$

$A = 7{,}0 \times 10^{-6}\ \text{m}^2$

O L se cancela: a área não depende do comprimento do cabo. São 7 mm², um cabo de uns 3 mm de diâmetro, bem mais fino que o dos desenhos.

Item (b) — conservação da energia. Do instante em que o cabo se prende até o ponto mais baixo, só peso e força elástica trabalham, e as duas são conservativas. Nesse trecho o herói desce ΔL = 2,0 m: a energia cinética inicial e a potencial gravitacional perdida viram energia elástica.

$\frac{MV_0^2}{2} + Mg\,\Delta L = \frac{k\,\Delta L^2}{2}$

$35\,V_0^2 + 70 \times 10 \times 2 = \frac{7700 \times 4}{2}$

$35\,V_0^2 + 1\,400 = 15\,400$

$V_0^2 = \frac{14\,000}{35} = 400$

$V_0 = 20\ \text{m/s}$

⚠️ A armadilha: no item (b), esquecer que o herói continua descendo enquanto o cabo estica, e escrever só $MV_0^2/2 = k\Delta L^2/2$ . Aí sai $V_0^2 = 440$ , $V_0 \approx 21$ m/s. A energia potencial gravitacional dos 2 m de descida também vai para o cabo.

A ideia em uma frase: parado, força elástica = peso; freando a queda, a energia cinética e a potencial gravitacional viram energia elástica.

Resposta: (a) $A = 7{,}0 \times 10^{-6}\ \text{m}^2$ ; (b) $V_0 = 20$ m/s.

Vídeo em breve

A resolução em vídeo desta questão ainda não foi gravada. A explicação escrita acima está completa, passo a passo. Novos vídeos saem no canal do Professor Filatte.

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