UNICAMP 2007 (2ª fase) — questão 6 de Física

DiscursivaGravitação — terceira lei de Kepler (período de Plutão)2ª fase · Física (discursiva)

Enunciado da questão 6 de Física do UNICAMP 2007 (2ª fase) — Enunciado — imagem da prova

Enunciado em texto

Em agosto de 2006, Plutão foi reclassificado pela União Astronômica Internacional, passando a ser considerado um planeta-anão. A terceira Lei de Kepler diz que $T^2 = K a^3$ , onde $T$ é o tempo para um planeta completar uma volta em torno do Sol, e $a$ é a média entre a maior e a menor distância do planeta ao Sol. No caso da Terra, essa média é $a_T$ = 1,5 x 10¹¹ m, enquanto que para Plutão $a_P$ = 60 x 10¹¹ m. A constante $K$ é a mesma para todos os objetos em órbita em torno do Sol. A velocidade da luz no vácuo é igual a 3,0 x 10⁸ m/s. Dado: $\sqrt{10} \cong 3{,}2$ .

a) Considerando-se as distâncias médias, quanto tempo leva a luz do Sol para atingir a Terra? E para atingir Plutão?

b) Quantos anos terrestres Plutão leva para dar uma volta em torno do Sol? Expresse o resultado de forma aproximada como um número inteiro.

(Enunciado: Vestibular Unicamp 2007, 2ª fase — Comvest/Unicamp.)

Transcrição do enunciado original da prova, reproduzido para fins de estudo. Todos os direitos do enunciado pertencem à UNICAMP.

Resolução comentada

O que a questão pede: (a) o tempo de viagem da luz do Sol até a Terra e até Plutão; (b) o período de Plutão, em anos terrestres.

Item (a) — a luz anda em velocidade constante:

$\Delta t_T = \frac{1{,}5 \times 10^{11}}{3{,}0 \times 10^{8}} = 5{,}0 \times 10^{2}\ \text{s}$

$\Delta t_P = \frac{60 \times 10^{11}}{3{,}0 \times 10^{8}} = 2{,}0 \times 10^{4}\ \text{s}$

Ou seja, uns 8 minutos até a Terra e mais de 5 horas até Plutão.

Item (b) — Kepler comparando Plutão com a Terra. Como K é o mesmo para os dois, dividindo uma equação pela outra K cancela:

$\frac{T_P^2}{T_T^2} = \left(\frac{a_P}{a_T}\right)^3 = \left(\frac{60}{1{,}5}\right)^3 = 40^3$

$T_P = T_T\,\sqrt{40^3} = 40\sqrt{40}\;T_T$

Como $\sqrt{40} = 2\sqrt{10} \approx 2 \times 3{,}2 = 6{,}4$ e $T_T$ = 1 ano:

$T_P \approx 40 \times 6{,}4 = 256\ \text{anos}$

(O valor real é cerca de 248 anos; a diferença vem dos arredondamentos dos dados.)

⚠️ A armadilha: achar que o período cresce na mesma proporção da distância (40 anos) ou inverter o expoente, $40^{2/3} \approx 12$ anos. A lei é T² ∝ a³: o período cresce com a potência 3/2 da distância.

A ideia em uma frase: a luz leva distância/c; e, pela 3ª lei de Kepler, quem está 40 vezes mais longe do Sol tem período 40^(3/2) = 256 vezes maior.

Resposta: (a) 5,0 × 10² s até a Terra e 2,0 × 10⁴ s até Plutão; (b) cerca de 256 anos.

Vídeo em breve

A resolução em vídeo desta questão ainda não foi gravada. A explicação escrita acima está completa, passo a passo. Novos vídeos saem no canal do Professor Filatte.

Prefere navegar prova por prova? Abra esta questão no Filatte Resolve.

UNICAMP 2007 (2ª fase) — questão 6 de Física

Enunciado em texto

Resolução comentada

Vídeo em breve

Outras questões de Física do UNICAMP 2007 (2ª fase)