UNICAMP 2007 (2ª fase) — questão 2 de Física

DiscursivaDinâmica — lei de Hooke, energia elástica e acelerômetro com micro-mola2ª fase · Física (discursiva)
Enunciado — imagem da prova
Enunciado da questão 2 de Física do UNICAMP 2007 (2ª fase)

Enunciado em texto

Sensores de dimensões muito pequenas têm sido acoplados a circuitos micro-eletrônicos. Um exemplo é um medidor de aceleração que consiste de uma massa mm presa a uma micro-mola de constante elástica kk. Quando o conjunto é submetido a uma aceleração a⃗\vec{a}, a micro-mola se deforma, aplicando uma força F⃗el\vec{F}_{el} na massa (ver diagrama abaixo). O gráfico ao lado do diagrama mostra o módulo da força aplicada versus a deformação de uma micro-mola utilizada num medidor de aceleração.

(Diagrama: em cima, com a⃗=0\vec{a} = 0, uma mola horizontal presa à parede esquerda de um tubo, com a massa mm na ponta; embaixo, com a⃗≠0\vec{a} \neq 0, a mesma mola mais curta (comprimida) e a massa mm mais à esquerda.)

(Gráfico: Força (10⁻⁶ N), de 0,00 a 0,80, em função da Deformação (μm), de 0,00 a 0,80. Quatro pontos medidos, aproximadamente em (0,20; 0,22), (0,40; 0,39), (0,60; 0,55) e (0,80; 0,81), e uma reta ajustada que parte da origem e passa por (0,80; 0,80).)

a) Qual é a constante elástica kk da micro-mola?

b) Qual é a energia necessária para produzir uma compressão de 0,10 μm na micro-mola?

c) O medidor de aceleração foi dimensionado de forma que essa micro-mola sofra uma deformação de 0,50 μm quando a massa tem uma aceleração de módulo igual a 25 vezes o da aceleração da gravidade. Qual é o valor da massa mm ligada à micro-mola?

(Enunciado e figura: Vestibular Unicamp 2007, 2ª fase — Comvest/Unicamp.)

Transcrição do enunciado original da prova, reproduzido para fins de estudo. Todos os direitos do enunciado pertencem à UNICAMP.

Resolução comentada

O que a questão pede: (a) a constante elástica, tirada do gráfico; (b) a energia elástica numa compressão de 0,10 μm; (c) a massa do sensor.

Item (a) — a constante é a inclinação da reta. Pela lei de Hooke, F = kx: a reta ajustada passa pela origem e por (0,80 μm; 0,80 × 10⁻⁶ N). Com 0,80 μm = 0,80 × 10⁻⁶ m:

k=Fx=0,80×10−60,80×10−6=1,0 N/mk = \frac{F}{x} = \frac{0{,}80 \times 10^{-6}}{0{,}80 \times 10^{-6}} = 1{,}0\ \text{N/m}

Item (b) — a energia vira energia potencial elástica. Com x = 0,10 μm = 1,0 × 10⁻⁷ m:

E=k x22=1,0×(1,0×10−7)22E = \frac{k\,x^2}{2} = \frac{1{,}0 \times (1{,}0 \times 10^{-7})^2}{2}

E=5,0×10−15 JE = 5{,}0 \times 10^{-15}\ \text{J}

Item (c) — a força da mola é a que acelera a massa. Pela 2ª lei de Newton, com a = 25g = 250 m/s² e x = 0,50 μm = 5,0 × 10⁻⁷ m:

k x=m a  ⇒  m=k xak\,x = m\,a \;\Rightarrow\; m = \frac{k\,x}{a}

m=1,0×5,0×10−7250m = \frac{1{,}0 \times 5{,}0 \times 10^{-7}}{250}

m=2,0×10−9 kgm = 2{,}0 \times 10^{-9}\ \text{kg}

Como 1 kg = 10⁶ mg, isso é 2,0 mg: um sensor realmente minúsculo.

⚠️ A armadilha: no item (c), usar a = 25 m/s² em vez de 25 × 10 = 250 m/s²: a massa sairia 10 vezes maior, 2,0 × 10⁻⁸ kg. E nos itens (b) e (c), esquecer que 1 μm = 10⁻⁶ m.

A ideia em uma frase: k é a inclinação do gráfico F × x; a energia é kx²/2; e no acelerômetro a força da mola, kx, é que dá à massa a aceleração ma.

Resposta: (a) 1,0 N/m; (b) 5,0 × 10⁻¹⁵ J; (c) 2,0 × 10⁻⁹ kg (2,0 mg).

Vídeo em breve

A resolução em vídeo desta questão ainda não foi gravada. A explicação escrita acima está completa, passo a passo. Novos vídeos saem no canal do Professor Filatte.

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