UNICAMP 2007 (2ª fase) — questão 5 de Física

Resolução comentada

O que a questão pede: (a) a unidade de Z no SI; (b) a pressão na água antes da torneira, com ela fechada; (c) uma estimativa da vazão de uma torneira e, a partir dela, o valor de Z.

Item (a) — análise de unidades. Pressão em N/m² e vazão em m³/s:

$$\frac{\text{N}}{\text{m}^2} = [Z]\,\frac{\text{m}^3}{\text{s}} \;\Rightarrow\; [Z] = \frac{\text{N}\cdot\text{s}}{\text{m}^5}$$

Como 1 N = 1 kg·m/s², isso também se escreve:

$$[Z] = \frac{\text{kg}}{\text{m}^4\cdot\text{s}}$$

Item (b) — com a torneira fechada, é hidrostática. A água está parada, e a pressão logo antes da torneira é a atmosférica (que age na superfície livre da caixa d’água) mais a da coluna de água de altura h acima da torneira:

$$P_1 = P_0 + \rho\,g\,h$$

A altura h vinha na figura do caderno original, que não aparece no material oficial disponível. A resposta esperada da Comvest usa h = 5,0 m:

$$P_1 = 1{,}0 \times 10^{5}$$

$$+\,1{,}0 \times 10^{3} \times 10 \times 5{,}0$$

$$P_1 = 1{,}5 \times 10^{5}\ \text{N/m}^2$$

Item (c) — Passo 1: estimar a vazão. Da experiência: uma torneira aberta enche uma garrafa de 1 litro em uns 10 s.

$$\Phi \approx \frac{1 \times 10^{-3}\ \text{m}^3}{10\ \text{s}} = 1 \times 10^{-4}\ \text{m}^3/\text{s}$$

Passo 2 — a resistência:

$$Z = \frac{P_1 - P_0}{\Phi} = \frac{4{,}0 \times 10^{4}}{1 \times 10^{-4}}$$

$$Z \approx 4 \times 10^{8}\ \text{kg}/(\text{m}^4\cdot\text{s})$$

Como é estimativa, outra vazão razoável (por exemplo, 1 litro em 5 s ou em 20 s) muda Z na mesma proporção; o importante é a ordem de grandeza e o caminho.

⚠️ A armadilha: no item (b), usar a fórmula dada com Φ = 0 e concluir que $P_1 = P_0$. Com a torneira fechada, a resistência Z é “infinita” e o produto Z·Φ não diz nada; a pressão vem da coluna de água parada, pela lei de Stevin.

A ideia em uma frase: Z é a razão entre diferença de pressão e vazão (kg/m⁴s); torneira fechada é água parada, e a pressão é P₀ + ρgh.

Resposta: (a) N·s/m⁵ = kg/(m⁴·s); (b) $P_1 = P_0 + \rho g h$ = 1,5 × 10⁵ N/m² (com h = 5,0 m da resposta esperada); (c) Φ ≈ 1 × 10⁻⁴ m³/s (1 L em 10 s) e Z ≈ 4 × 10⁸ kg/(m⁴·s).