UNICAMP 2007 (2ª fase) — questão 11 de Física

DiscursivaÓptica — refração (lei de Snell) e interferência em película fina2ª fase · Física (discursiva)
Enunciado — imagem da prova
Enunciado da questão 11 de Física do UNICAMP 2007 (2ª fase)

Enunciado em texto

Uma gota de cola plástica à base de PVC cai sobre a superfície da água parada de um tanque, formando um filme sólido (camada fina) de espessura ll = 4,0 x 10⁻⁷ m. Dado: 2≅1,4\sqrt{2} \cong 1{,}4.

a) Ao passar de um meio de índice de refração n1n_1 para outro meio de índice de refração n2n_2, um raio de luz é desviado de tal forma que n1 sen θ1=n2 sen θ2n_1\ \text{sen}\ \theta_1 = n_2\ \text{sen}\ \theta_2, onde θ1\theta_1 e θ2\theta_2 são os ângulos entre o raio em cada meio e a normal, respectivamente. Um raio luminoso incide sobre a superfície superior do filme, formando um ângulo θ1=30∘\theta_1 = 30^\circ com a normal, conforme a figura abaixo. Calcule a distância dd que o raio representado na figura percorre no interior do filme. O índice de refração do PVC é n2=1,5n_2 = 1{,}5.

(Figura: três meios em camadas horizontais: ar (1) em cima, o filme de PVC (2) de espessura ll no meio e água (3) embaixo. Um raio vem do ar, de cima para baixo e da esquerda para a direita, fazendo o ângulo θ1\theta_1 com a normal tracejada; entra no PVC, desce até a interface PVC–água, reflete-se ali, sobe e sai de volta para o ar, num ponto à direita do de entrada, seguindo para cima e para a direita.)

b) As diversas cores observadas no filme devem-se ao fenômeno de interferência. A interferência é construtiva quando a distância dd percorrida pela luz no interior do filme é igual a (2k+1)λ2n2(2k + 1)\dfrac{\lambda}{2n_2}, onde kk é um número natural (kk = 0,1,2,3....). Neste caso, a cor correspondente ao comprimento de onda λ\lambda torna-se visível para raios incidentes que formam ângulo θ1\theta_1 com a normal. Qual é o comprimento de onda na faixa visível do espectro eletromagnético (400nm - 700nm) para o qual a interferência é construtiva quando o ângulo de incidência é θ1=30∘\theta_1 = 30^\circ?

(Enunciado e figura: Vestibular Unicamp 2007, 2ª fase — Comvest/Unicamp.)

Transcrição do enunciado original da prova, reproduzido para fins de estudo. Todos os direitos do enunciado pertencem à UNICAMP.

Resolução comentada

O que a questão pede: (a) o caminho total do raio dentro do filme (descida e subida); (b) o comprimento de onda visível que sofre interferência construtiva para incidência a 30°.

Item (a) — Passo 1: o ângulo de refração no PVC. Pela lei de Snell, com o ar de índice 1:

1×sen 30∘=1,5 sen θ21 \times \text{sen}\,30^\circ = 1{,}5\,\text{sen}\,\theta_2

sen θ2=0,51,5=13\text{sen}\,\theta_2 = \frac{0{,}5}{1{,}5} = \frac{1}{3}

cos⁡θ2=1−19=83=223\cos\theta_2 = \sqrt{1 - \frac{1}{9}} = \frac{\sqrt{8}}{3} = \frac{2\sqrt{2}}{3}

Passo 2 — a geometria. Na descida, o raio percorre a hipotenusa de um triângulo cujo cateto vertical é a espessura l: o trecho mede l/cos⁡θ2l/\cos\theta_2. Na subida, outro trecho igual:

d=2 lcos⁡θ2=2 l×322=3 l2d = \frac{2\,l}{\cos\theta_2} = \frac{2\,l \times 3}{2\sqrt{2}} = \frac{3\,l}{\sqrt{2}}

d=3×4,0×10−71,4≈8,6×10−7 md = \frac{3 \times 4{,}0 \times 10^{-7}}{1{,}4} \approx 8{,}6 \times 10^{-7}\ \text{m}

Item (b) — Passo 1: isolar λ. Da condição dada, com n2=1,5n_2 = 1{,}5:

d=(2k+1) λ2×1,5d = (2k+1)\,\frac{\lambda}{2 \times 1{,}5}

λ=3 d2k+1\lambda = \frac{3\,d}{2k+1}

λ=3×8,6×10−72k+1=2580 nm2k+1\lambda = \frac{3 \times 8{,}6 \times 10^{-7}}{2k+1} = \frac{2580\ \text{nm}}{2k+1}

Passo 2 — testar os valores de k:

• k = 0: λ ≈ 2580 nm (infravermelho);

• k = 1: λ ≈ 860 nm (infravermelho);

• k = 2: λ ≈ 516 nm — dentro da faixa de 400 a 700 nm (verde);

• k = 3: λ ≈ 369 nm (ultravioleta).

Só k = 2 cai no visível: λ ≈ 5,2 × 10² nm.

Observação da banca: a condição exata de interferência construtiva é dcos⁡2θ2=(2k+1)λ/(2n2)d\cos^2\theta_2 = (2k+1)\lambda/(2n_2); a do enunciado é uma aproximação para ângulos pequenos. A 30°, a diferença é de cerca de 11% (fator cos²θ₂ = 8/9), e a fórmula exata daria λ ≈ 4,6 × 10² nm, também no visível. A Comvest aceitou as duas.

⚠️ A armadilha: no item (a), contar só a descida (l/cos θ₂ ≈ 4,3 × 10⁻⁷ m) ou usar a espessura l como caminho. A figura mostra o raio indo e voltando dentro do filme: são dois trechos inclinados.

A ideia em uma frase: Snell dá o ângulo no filme, a geometria dá d = 2l/cos θ₂, e da condição d = (2k+1)λ/(2n₂) só um valor de k cai entre 400 e 700 nm.

Resposta: (a) d ≈ 8,6 × 10⁻⁷ m; (b) λ ≈ 5,2 × 10² nm (k = 2); pela fórmula exata, ≈ 4,6 × 10² nm, também aceita.

Vídeo em breve

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