UNICAMP 2006 (2ª fase) — questão 11 de Física

DiscursivaMagnetismo — força magnética, campos cruzados e movimento circular do elétron2ª fase · Física (discursiva)
Enunciado — imagem da prova
Enunciado da questão 11 de Física do UNICAMP 2006 (2ª fase)

Enunciado em texto

Utilize g = 10 m/s² e π = 3, sempre que for necessário na resolução das questões.

A utilização de campos elétrico e magnético cruzados é importante para viabilizar o uso da técnica híbrida de tomografia de ressonância magnética e de raios X.

A figura abaixo mostra parte de um tubo de raios X, onde um elétron, movendo-se com velocidade vv = 5,0 × 10⁵ m/s ao longo da direção xx, penetra na região entre as placas onde há um campo magnético uniforme, B⃗\vec{B}, dirigido perpendicularmente para dentro do plano do papel. A massa do elétron é mem_e = 9 × 10⁻³¹ kg e a sua carga elétrica é qq = −1,6 × 10⁻¹⁹ C. O módulo da força magnética que age sobre o elétron é dado por F=qvB senθF = qvB\,\text{sen}\theta, onde θ\theta é o ângulo entre a velocidade e o campo magnético.

(Figura: duas placas horizontais, uma em cima e outra embaixo, de 10 cm de comprimento, terminando à direita num alvo vertical. O elétron chega pela esquerda, com velocidade v⃗\vec{v} no sentido +x, ao longo de uma linha tracejada que atinge o alvo. Entre as placas, o símbolo ⊗ indica B⃗\vec{B} entrando no papel. Uma cota de 12 cm vai da linha do elétron até a placa de baixo. Eixos: y para cima, x para a direita.)

a) Sendo o módulo do campo magnético B = 0,010 T, qual é o módulo do campo elétrico que deve ser aplicado na região entre as placas para que o elétron se mantenha em movimento retilíneo uniforme?

b) Numa outra situação, na ausência de campo elétrico, qual é o máximo valor de B para que o elétron ainda atinja o alvo?

O comprimento das placas é de 10 cm.

(Enunciado e figura: Vestibular Unicamp 2006, 2ª fase — Comvest/Unicamp.)

Transcrição do enunciado original da prova, reproduzido para fins de estudo. Todos os direitos do enunciado pertencem à UNICAMP.

Resolução comentada

O que a questão pede: (a) o campo elétrico que anula a força magnética, para o elétron seguir em linha reta; (b) o maior B com que o elétron, desviado só pelo campo magnético, ainda chega ao alvo.

Item (a) — Passo 1: o sentido da força magnética. Para uma carga positiva, com v⃗\vec{v} para a direita (+x) e B⃗\vec{B} entrando no papel, a regra da mão direita dá força para cima (+y). O elétron é negativo, então a força nele aponta para baixo (−y), rumo à placa inferior.

Passo 2 — equilibrar com a força elétrica. Para movimento retilíneo uniforme, a resultante é nula: a força elétrica deve ter o mesmo módulo e apontar para cima (+y). Como v⃗⊥B⃗\vec{v} \perp \vec{B}, sen θ = 1:

∣q∣ E=∣q∣ v B  ⇒  E=v B|q|\,E = |q|\,v\,B \;\Rightarrow\; E = v\,B

E=5,0×105×0,010E = 5{,}0 \times 10^{5} \times 0{,}010

E=5,0×103 V/mE = 5{,}0 \times 10^{3}\ \text{V/m}

Como o elétron é negativo, para a força elétrica nele apontar para cima, o campo E⃗\vec{E} deve apontar para baixo (−y).

Item (b) — Passo 1: o raio da trajetória. Sem campo elétrico, a força magnética é sempre perpendicular à velocidade e faz o elétron descrever um arco de circunferência, curvando para baixo:

∣q∣ v B=me v2r  ⇒  r=me v∣q∣ B|q|\,v\,B = \frac{m_e\,v^2}{r} \;\Rightarrow\; r = \frac{m_e\,v}{|q|\,B}

Quanto maior o B, menor o raio, e mais fechada a curva.

Passo 2 — a condição para atingir o alvo. O elétron entra na horizontal e o alvo está 10 cm adiante. Se o raio for menor que 10 cm, ele faz meia-volta antes de chegar lá. O caso limite é r = 10 cm: o elétron chega ao alvo de raspão, 10 cm abaixo da linha de entrada — o que cabe nos 12 cm até a placa de baixo, então ele não bate na placa antes. Logo, rmin=0,10r_{\text{min}} = 0{,}10 m e:

Bmax=me v∣q∣ rminB_{\text{max}} = \frac{m_e\,v}{|q|\,r_{\text{min}}}

=9×10−31×5,0×1051,6×10−19×0,10= \frac{9 \times 10^{-31} \times 5{,}0 \times 10^{5}}{1{,}6 \times 10^{-19} \times 0{,}10}

Bmax≈2,8×10−5 TB_{\text{max}} \approx 2{,}8 \times 10^{-5}\ \text{T}

⚠️ A armadilha: usar os 12 cm como raio mínimo, achando que o limite é o elétron bater na placa: daria B ≈ 2,3 × 10⁻⁵ T. Mas com raio de 12 cm o elétron passa por x = 10 cm ainda bem acima da placa; o que realmente limita é o comprimento de 10 cm até o alvo.

A ideia em uma frase: campos cruzados: qE = qvB dá E = vB; sem E, o elétron faz um arco de raio mv/(qB), que precisa ser de pelo menos 10 cm para alcançar o alvo.

Resposta: (a) E = 5,0 × 10³ V/m (5,0 kV/m); (b) Bmax≈2,8×10−5B_{\text{max}} \approx 2{,}8 \times 10^{-5} T.

Vídeo em breve

A resolução em vídeo desta questão ainda não foi gravada. A explicação escrita acima está completa, passo a passo. Novos vídeos saem no canal do Professor Filatte.

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