UNICAMP 2005 (2ª fase) — questão 9 de Física

Resolução comentada

O que a questão pede: (a) o tamanho da imagem da Lua formada pela objetiva; (b) a distância entre as lentes para que a ocular forme uma imagem virtual a 20 cm dela.

Item (a) — semelhança de triângulos pelo centro da lente. O raio R, vindo da borda da Lua, passa pelo centro óptico da objetiva sem desviar. Então o ângulo com que se vê a Lua é o mesmo dos dois lados da lente: raio da Lua sobre a distância à Lua é igual a raio da imagem sobre a distância da imagem (a focal, 133 cm):

$$\frac{I_1}{O_1} = \frac{p_1^{\prime}}{p_1}$$

$$I_1 = \frac{1{,}75 \times 10^{3}}{3{,}84 \times 10^{5}} \times 133\ \text{cm}$$

$$I_1 \approx 0{,}61\ \text{cm}$$

A imagem tem cerca de 0,61 cm de raio (um disco de 1,2 cm de diâmetro) e é invertida (por isso a banca escreve $I_1 = -0{,}61$ cm).

Item (b) — equação das lentes na ocular. A imagem final é virtual, então $p_2^{\prime} = -20$ cm; a ocular tem $f_2 = 9{,}5$ cm:

$$\frac{1}{f_2} = \frac{1}{p_2} + \frac{1}{p_2^{\prime}}$$

$$\frac{1}{p_2} = \frac{1}{9{,}5} + \frac{1}{20} = \frac{29{,}5}{190}$$

$$p_2 = \frac{190}{29{,}5} \approx 6{,}4\ \text{cm}$$

O objeto da ocular ($I_1$) fica a 6,4 cm dela, dentro da distância focal, como deve ser para dar imagem virtual e ampliada. Como $I_1$ está a 133 cm da objetiva, a distância entre as lentes é:

$$D = 133 + 6{,}4 = 139{,}4\ \text{cm}$$

⚠️ A armadilha: usar $p_2^{\prime} = +20$ cm, esquecendo que imagem virtual tem sinal negativo: $\frac{1}{p_2} = \frac{1}{9{,}5} - \frac{1}{20}$ dá $p_2 \approx 18$ cm, e a distância entre as lentes sairia cerca de 151 cm. No item (a), misturar km com cm sem cuidado: a razão $1750/384\,000$ não tem unidade, e o resultado fica em cm, como a focal.

A ideia em uma frase: a objetiva forma a imagem da Lua no seu foco, e essa imagem vira objeto da ocular; a distância entre as lentes é a focal da objetiva mais a posição desse objeto.

Resposta: (a) cerca de 0,61 cm (imagem invertida); (b) cerca de 139,4 cm.