UNICAMP 2005 (2ª fase) — questão 6 de Física

Resolução comentada

O que a questão pede: (a) a constante elástica de uma mola que faria uma massa de 1 g oscilar a 1000 kHz; (b) a força para esticar essa mola 1 mm.

Item (a) — isolar k na fórmula da frequência. Elevando ao quadrado:

$$f^2 = \frac{1}{4\pi^2}\,\frac{k}{m} \Rightarrow k = m\,(2\pi f)^2$$

Com $m = 1$ g $= 10^{-3}$ kg e $f = 1000$ kHz $= 10^{6}$ Hz (a banca usa $\pi \approx 3$):

$$k = 10^{-3} \times (2 \times 3 \times 10^{6})^2$$

$$k = 10^{-3} \times 3{,}6 \times 10^{13}$$

$$k = 3{,}6 \times 10^{10}\ \text{N/m}$$

Item (b) — lei de Hooke. Para deslocar a mola $x = 1$ mm $= 10^{-3}$ m:

$$F = kx = 3{,}6 \times 10^{10} \times 10^{-3}$$

$$F = 3{,}6 \times 10^{7}\ \text{N}$$

É o peso de umas 3 600 toneladas! Com $\pi = 3{,}14$, os valores ficam cerca de $3{,}9 \times 10^{10}$ N/m e $3{,}9 \times 10^{7}$ N. O absurdo do resultado mostra por que, numa antena de verdade, quem oscila são cargas movidas por forças elétricas, e não massas presas a molas.

⚠️ A armadilha: esquecer de passar kHz para Hz: com $f = 1000$ Hz, a constante sai $3{,}6 \times 10^{4}$ N/m, um milhão de vezes menor. E a massa de 1 g tem de entrar em quilogramas.

A ideia em uma frase: frequência altíssima com massa pequena exige uma mola duríssima: k = m(2πf)², e a força para deslocá-la 1 mm fica gigantesca.

Resposta: (a) $k \approx 3{,}6 \times 10^{10}$ N/m; (b) $F \approx 3{,}6 \times 10^{7}$ N (com $\pi \approx 3$).