UNICAMP 2005 (2ª fase) — questão 7 de Física

DiscursivaHidrostática — densidade e estimativa (massa de chuva e número de gotas)2ª fase · Física (discursiva)
Enunciado — imagem da prova
Enunciado da questão 7 de Física do UNICAMP 2005 (2ª fase)

Enunciado em texto

Durante uma tempestade de 20 minutos, 10 mm de chuva caíram sobre uma região cuja área total é 100 km2^2.

a) Sendo que a densidade da água é de 1,0 g/cm3^3, qual a massa de água que caiu?

b) A partir de uma estimativa do volume de uma gota de chuva, calcule o número médio de gotas que caem em 1 m2^2 durante 1 s.

(Enunciado: Vestibular Unicamp 2005, 2ª fase — Comvest/Unicamp.)

Transcrição do enunciado original da prova, reproduzido para fins de estudo. Todos os direitos do enunciado pertencem à UNICAMP.

Resolução comentada

O que a questão pede: (a) a massa total de água da chuva; (b) estimando o tamanho de uma gota, quantas gotas caem por metro quadrado a cada segundo.

Item (a) — volume da chuva. “10 mm de chuva” quer dizer que a água acumulada formaria uma camada de 10 mm =10−2= 10^{-2} m de altura sobre toda a área. A área: 100 km² =100×106= 100 \times 10^{6} m² =108= 10^{8} m². A densidade: 1,0 g/cm³ =103= 10^{3} kg/m³.

V=A h=108×10−2=106 m3V = A\,h = 10^{8} \times 10^{-2} = 10^{6}\ \text{m}^3

m=ρV=103×106=109 kgm = \rho V = 10^{3} \times 10^{6} = 10^{9}\ \text{kg}

Um milhão de toneladas de água em 20 minutos.

Item (b) — estimar uma gota. Uma gota de chuva grossa tem raio de cerca de 2 mm. Tratando-a como esfera (com π≈3\pi \approx 3):

Vg=43πR3=4×(2×10−3)3V_g = \frac{4}{3}\pi R^3 = 4 \times (2 \times 10^{-3})^3

Vg=3,2×10−8 m3V_g = 3{,}2 \times 10^{-8}\ \text{m}^3

Quanta água cai em 1 m² por segundo. Em cada metro quadrado caem 10−210^{-2} m³ de água (a camada de 10 mm), ao longo de 20 min=120020\ \text{min} = 1200 s:

10−2 m31200 s≈8,3×10−6 m3/s\frac{10^{-2}\ \text{m}^3}{1200\ \text{s}} \approx 8{,}3 \times 10^{-6}\ \text{m}^3\text{/s}

N=8,3×10−63,2×10−8≈2,6×102N = \frac{8{,}3 \times 10^{-6}}{3{,}2 \times 10^{-8}} \approx 2{,}6 \times 10^{2}

São cerca de 250 gotas por metro quadrado a cada segundo. A banca faz o mesmo caminho pela massa total: 109/(3,2×10−5 kg)≈3×101310^{9}/(3{,}2 \times 10^{-5}\ \text{kg}) \approx 3 \times 10^{13} gotas, divididas por 10810^{8} m² e por 1200 s, e chega a 250. Como é estimativa, vale a ordem de grandeza: com gotas de 1 mm de raio, por exemplo, o número fica perto de 2 000.

⚠️ A armadilha: converter a área errado: 1 km² =106= 10^{6} m², e não 10310^{3}. Com o erro, a massa sai mil vezes menor. No item (b), o tamanho da gota entra ao cubo: errar o raio por um fator 2 muda o resultado por um fator 8.

A ideia em uma frase: a altura da chuva vezes a área dá o volume; dividir a água que cai por segundo em cada metro quadrado pelo volume de uma gota dá o número de gotas.

Resposta: (a) m=109m = 10^{9} kg; (b) cerca de 2,5×1022{,}5 \times 10^{2} gotas por m² por segundo (com gotas de raio ≈ 2 mm).

Vídeo em breve

A resolução em vídeo desta questão ainda não foi gravada. A explicação escrita acima está completa, passo a passo. Novos vídeos saem no canal do Professor Filatte.

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