UNICAMP 2005 (2ª fase) — questão 11 de Física

DiscursivaMagnetismo — indução eletromagnética (lei de Faraday) e resistência de um fio2ª fase · Física (discursiva)
Enunciado — imagem da prova
Enunciado da questão 11 de Física do UNICAMP 2005 (2ª fase)

Enunciado em texto

O princípio de funcionamento dos detectores de metais utilizados em verificações de segurança é baseado na lei de indução de Faraday. A força eletromotriz induzida por um fluxo de campo magnético variável através de uma espira gera uma corrente. Se um pedaço de metal for colocado nas proximidades da espira, o valor do campo magnético será alterado, modificando a corrente na espira. Essa variação pode ser detectada e usada para reconhecer a presença de um corpo metálico nas suas vizinhanças.

(Gráfico: campo magnético B (T), de 0 a 5×10−45 \times 10^{-4}, no eixo vertical, contra o tempo t (s), de 0 a 5×10−25 \times 10^{-2}, no eixo horizontal. B cresce em linha reta, de 0 em t = 0 até 5×10−45 \times 10^{-4} T em t=5×10−2t = 5 \times 10^{-2} s.)

a) Considere que o campo magnético B atravessa perpendicularmente a espira e varia no tempo segundo a figura. Se a espira tem raio de 2 cm, qual é a força eletromotriz induzida?

b) A espira é feita de um fio de cobre de 1 mm de raio e a resistividade do cobre é ρ\rho = 2 x 10 - 8 ohm-metro. A resistência de um fio é dada por R=ρ LAR = \rho\,\frac{L}{A}, onde L é o seu comprimento e A é a área da sua seção reta. Qual é a corrente na espira?

(Enunciado e figura: Vestibular Unicamp 2005, 2ª fase — Comvest/Unicamp.)

Transcrição do enunciado original da prova, reproduzido para fins de estudo. Todos os direitos do enunciado pertencem à UNICAMP.

Resolução comentada

O que a questão pede: (a) a força eletromotriz induzida na espira pelo campo que cresce; (b) a corrente, depois de calcular a resistência do fio da espira.

Item (a) — lei de Faraday. O fluxo é ϕ=B Aespira\phi = B\,A_{\text{espira}}, com a área da espira de raio r=2×10−2r = 2 \times 10^{-2} m. Só o campo varia, e o gráfico é uma reta: ΔB=5×10−4\Delta B = 5 \times 10^{-4} T em Δt=5×10−2\Delta t = 5 \times 10^{-2} s. Em módulo (a banca usa π≈3\pi \approx 3):

ε=ΔϕΔt=πr2 ΔBΔt\varepsilon = \frac{\Delta \phi}{\Delta t} = \pi r^2\,\frac{\Delta B}{\Delta t}

ε=3×(2×10−2)2×5×10−45×10−2\varepsilon = 3 \times (2 \times 10^{-2})^2 \times \frac{5 \times 10^{-4}}{5 \times 10^{-2}}

ε=1,2×10−3×10−2\varepsilon = 1{,}2 \times 10^{-3} \times 10^{-2}

ε=1,2×10−5 V\varepsilon = 1{,}2 \times 10^{-5}\ \text{V}

Item (b) — a resistência do fio. A resistividade impressa como “2 x 10 - 8” é ρ=2×10−8 Ω⋅m\rho = 2 \times 10^{-8}\ \Omega\cdot\text{m} (o expoente saiu mal impresso). O comprimento do fio é o perímetro da espira, e a área é a seção do fio, de raio 1 mm:

L=2πr=2×3×0,02=0,12 mL = 2\pi r = 2 \times 3 \times 0{,}02 = 0{,}12\ \text{m}

A=πa2=3×(10−3)2A = \pi a^2 = 3 \times (10^{-3})^2

=3×10−6 m2= 3 \times 10^{-6}\ \text{m}^2

R=2×10−8×0,123×10−6R = 2 \times 10^{-8} \times \frac{0{,}12}{3 \times 10^{-6}}

R=8×10−4 ΩR = 8 \times 10^{-4}\ \Omega

A corrente, pela lei de Ohm:

i=εR=1,2×10−58×10−4i = \frac{\varepsilon}{R} = \frac{1{,}2 \times 10^{-5}}{8 \times 10^{-4}}

i=1,5×10−2 A=15 mAi = 1{,}5 \times 10^{-2}\ \text{A} = 15\ \text{mA}

Com π=3,14\pi = 3{,}14: ε≈1,26×10−5\varepsilon \approx 1{,}26 \times 10^{-5} V e i≈16i \approx 16 mA (a resistência não muda, porque o π\pi se cancela em L/AL/A).

⚠️ A armadilha: confundir as duas áreas. Na lei de Faraday entra a área da espira (raio 2 cm); na resistência entra a área da seção do fio (raio 1 mm). Trocar uma pela outra estraga as duas respostas.

A ideia em uma frase: a fem é a taxa de variação do fluxo pela espira; a corrente é essa fem dividida pela resistência do fio, que depende do comprimento e da seção do fio.

Resposta: (a) ε≈1,2×10−5\varepsilon \approx 1{,}2 \times 10^{-5} V; (b) i≈1,5×10−2i \approx 1{,}5 \times 10^{-2} A =15= 15 mA (com π≈3\pi \approx 3).

Vídeo em breve

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