UNICAMP 2004 (2ª fase) — questão 4 de Física

Resolução comentada

O que a questão pede: (a) estimar quanto de tinta cabe na carga e, espalhando essa tinta num traço de 3 km por 0,5 mm, achar a espessura da camada; (b) a pressão da ponta da caneta no papel.

Item (a) — estimar o volume da carga. A carga é um tubinho fino. Valores razoáveis: raio interno de cerca de 1 mm e comprimento de tinta de cerca de 10 cm. O volume de um cilindro é área da base vezes comprimento:

$$V = \pi r^2 \ell = 3 \times (10^{-3})^2 \times 0{,}1$$

$$V = 3 \times 10^{-7}\ \text{m}^3\ (0{,}3\ \text{mL})$$

A espessura do traço. Toda essa tinta vira um “tapete” muito fino: comprimento 3 km $= 3 \times 10^3$ m, largura 0,5 mm $= 5 \times 10^{-4}$ m e espessura $e$. O volume do traço é o volume de tinta:

$$3 \times 10^3 \times 5 \times 10^{-4} \times e = 3 \times 10^{-7}$$

$$1{,}5\, e = 3 \times 10^{-7}$$

$$e = 2 \times 10^{-7}\ \text{m} = 0{,}2\ \mu\text{m}$$

Como é uma estimativa, a banca aceita valores numa faixa razoável; o que não vale é um volume absurdo para uma carga de caneta.

Item (b) — a área de contato. A esfera da ponta tem, no máximo, a largura do traço: diâmetro de 0,5 mm, raio $r = 0{,}25$ mm $= 2{,}5 \times 10^{-4}$ m. Estimando a área de contato pela seção da esfera:

$$A = \pi r^2 = 3 \times (2{,}5 \times 10^{-4})^2$$

$$A \approx 2 \times 10^{-7}\ \text{m}^2$$

A pressão é força dividida pela área:

$$p = \frac{F}{A} = \frac{3}{2 \times 10^{-7}}$$

$$p = 1{,}5 \times 10^{7}\ \text{N/m}^2$$

Isso dá cerca de 150 atmosferas. (A resposta esperada impressa pela banca para no cálculo da área; a pressão sai dividindo a força por ela. A banca comenta que aceitou resultados próximos, como $1{,}6 \times 10^7\ \text{N/m}^2$, por se tratar de estimativa.)

⚠️ A armadilha: no item (b), usar a área da superfície inteira da esfera, $4\pi r^2$, em vez da pequena região que encosta no papel: a pressão sai 4 vezes menor. E, no item (a), misturar unidades (km, mm e cm na mesma conta) estraga a ordem de grandeza.

A ideia em uma frase: o volume de tinta, espalhado num traço longo e estreito, vira uma camada de décimos de micrômetro; e uma força pequena numa área minúscula dá uma pressão enorme.

Resposta: (a) $V \approx 3 \times 10^{-7}\ \text{m}^3$ e $e \approx 2 \times 10^{-7}$ m $= 0{,}2\ \mu$m; (b) $p \approx 1{,}5 \times 10^{7}\ \text{N/m}^2$ (área de contato $\approx 2 \times 10^{-7}\ \text{m}^2$).