UNICAMP 2004 (2ª fase) — questão 3 de Física

Resolução comentada

O que a questão pede: (a) quanto tempo a bola fica no ar; (b) a velocidade horizontal; (c) a velocidade horizontal necessária para fazer a mesma curva quando há uma força extra para baixo.

Item (a) — ler o gráfico e separar os movimentos. Sem resistência do ar, o movimento horizontal é uniforme e o vertical é uma queda livre. Do gráfico: o ponto mais alto (1,25 m) está em $x = 8$ m, e a bola chega ao chão em $x = 24$ m. Do topo ao chão, a bola cai 1,25 m partindo de velocidade vertical zero:

$$h = \frac{g\,t^2}{2} \Rightarrow t = \sqrt{\frac{2 \times 1{,}25}{10}}$$

$$t_{\text{queda}} = 0{,}5\ \text{s}$$

Nesse 0,5 s ela andou 16 m na horizontal (de 8 a 24 m). Como a velocidade horizontal é constante, o tempo é proporcional à distância horizontal: os 8 m iniciais (de 0 a 8 m) levam metade, 0,25 s.

$$\Delta t = 0{,}25 + 0{,}5 = 0{,}75\ \text{s}$$

Conferindo pela subida: de $x = 0$ (0,9375 m) ao topo (1,25 m), a bola sobe 0,3125 m. O tempo de subida é o mesmo de uma queda dessa altura: $\sqrt{2 \times 0{,}3125/10} = \sqrt{0{,}0625} = 0{,}25$ s. Bate.

A banca também resolve pela equação completa: com $v_{0y} = \sqrt{2 \times 10 \times 0{,}3125} = 2{,}5$ m/s e $y_0 = 0{,}9375$ m, a equação $0 = 0{,}9375 + 2{,}5\,t - 5t^2$ dá $t = 0{,}75$ s. O caminho pelo tempo de queda (1,5 vez 0,5 s) é a solução alternativa oficial.

Item (b) — velocidade horizontal. 24 m em 0,75 s, com velocidade constante:

$$v_x = \frac{24}{0{,}75} = 32\ \text{m/s}$$

Item (c) — mesma curva com “gravidade” maior. Com efeito, a bola sofre o peso $mg$ mais a força $F_E = 3mg$, ambos para baixo. A aceleração vertical passa a ser:

$$a = \frac{mg + 3mg}{m} = 4g = 40\ \text{m/s}^2$$

Para a curva ser a mesma, as alturas são as mesmas. Na vertical, o tempo para percorrer uma altura é $t = \sqrt{2h/a}$: com aceleração 4 vezes maior, cada trecho leva metade do tempo. A queda do topo ao chão, por exemplo:

$$t^{\prime} = \sqrt{\frac{2 \times 1{,}25}{40}} = 0{,}25\ \text{s}$$

Então o voo inteiro dura $0{,}75/2 = 0{,}375$ s. Para cobrir os mesmos 24 m na metade do tempo, a velocidade horizontal tem de dobrar:

$$v_x^{\prime} = \frac{24}{0{,}375} = 64\ \text{m/s}$$

A banca chega ao mesmo resultado pela equação da trajetória, $y = y_0 + \frac{v_{0y}}{v_{0x}}x - \frac{g}{2v_{0x}^2}x^2$: trocando $g$ por $4g$, a curva só fica igual se as duas componentes da velocidade inicial dobrarem ($v_{0x}^{\prime} = 2v_{0x}$ e $v_{0y}^{\prime} = 2v_{0y}$).

⚠️ A armadilha: no item (c), achar que, se a aceleração ficou 4 vezes maior, a velocidade horizontal também tem de ser 4 vezes maior (128 m/s). O tempo depende da raiz da aceleração: $\sqrt{4} = 2$. No item (a), outro tropeço é usar só o tempo de queda (0,5 s) e esquecer a subida inicial da bola.

A ideia em uma frase: a vertical dá o tempo e a horizontal só divide distância por tempo; aceleração 4 vezes maior faz tudo acontecer na metade do tempo.

Resposta: (a) $\Delta t = 0{,}75$ s; (b) $v_x = 32$ m/s; (c) $v_x^{\prime} = 64$ m/s.