UNICAMP 2004 (2ª fase) — questão 1 de Física

Resolução comentada

O que a questão pede: (a) quantas voltas por segundo o pneu dá para a marca parecer parada no vídeo; (b) a menor velocidade angular em que isso acontece; (c) a velocidade do carro nessa situação.

Item (a) — a câmera é um “pisca-pisca”. A câmera não filma de forma contínua: ela tira 30 fotos por segundo, uma a cada $\frac{1}{30}$ s. Entre uma foto e a seguinte, o pneu gira. Se nesse intervalo ele der exatamente uma volta inteira, a marca estará no mesmo lugar em todas as fotos, e o vídeo mostra a marca parada. O mesmo acontece com 2, 3, 4… voltas inteiras por quadro.

$$f = 1 \times 30 = 30\ \text{voltas/s}$$

ou qualquer múltiplo inteiro de 30 (60, 90, … voltas por segundo).

Item (b) — a menor velocidade angular. A menor frequência que congela a marca é a de uma volta por quadro, $f = 30$ Hz. A velocidade angular é uma volta ($2\pi$ rad) vezes o número de voltas por segundo:

$$\omega = 2\pi f = 2 \times 3 \times 30$$

$$\omega = 180\ \text{rad/s}$$

Item (c) — a velocidade do carro. O pneu rola sem escorregar: a cada volta, o carro anda um perímetro do pneu. Então a velocidade do carro é a velocidade da borda do pneu em relação ao eixo, $v = \omega R$, com o raio $R = 0{,}3$ m (metade do diâmetro):

$$v = \omega R = 180 \times 0{,}3$$

$$v = 54\ \text{m/s}\ (\approx 194\ \text{km/h})$$

Conferindo: perímetro $= 2\pi R = 2 \times 3 \times 0{,}3 = 1{,}8$ m; 30 voltas por segundo dão $30 \times 1{,}8 = 54$ m/s. Bate.

⚠️ A armadilha: usar o diâmetro no lugar do raio em $v = \omega R$: $180 \times 0{,}6 = 108$ m/s, o dobro do certo. Outra: achar que a marca parada significa roda parada. O vídeo só “vê” o pneu 30 vezes por segundo; o que acontece entre duas fotos fica invisível.

A ideia em uma frase: a marca parece parada quando o pneu dá um número inteiro de voltas entre dois quadros; a menor frequência é a da câmera, 30 Hz.

Resposta: (a) 30 voltas por segundo (ou múltiplos inteiros de 30); (b) $\omega = 180$ rad/s; (c) $v = 54$ m/s.