UNICAMP 2002 (2ª fase) — questão 6 de Física

Resolução comentada

O que a questão pede: (a) a distância entre a lente e o filme, sabendo o tamanho da mancha; (b) a distância do objeto que fica perfeitamente focalizado nesse filme.

Item (a) — semelhança de triângulos. Raios vindos do infinito chegam paralelos e convergem no foco, a $f = 35$ mm da lente. Até o foco, eles formam um cone de base 3,5 mm (a abertura) e altura 35 mm. Depois do foco, o cone se abre de novo, com a mesma inclinação, e no filme a mancha tem 0,03 mm. Chamando de $x$ a distância do foco ao filme, os dois triângulos são semelhantes:

$$\frac{x}{0{,}03} = \frac{35}{3{,}5}$$

$$x = 0{,}03 \times 10 = 0{,}3\ \text{mm}$$

O filme fica 0,3 mm além do foco:

$$d = f + x = 35 + 0{,}3 = 35{,}3\ \text{mm}$$

Item (b) — a equação dos pontos conjugados. Para que a imagem caia exatamente no filme, a distância da imagem tem de ser $p^{\prime} = d = 35{,}3$ mm. Pela equação de Gauss:

$$\frac{1}{f} = \frac{1}{p} + \frac{1}{p^{\prime}}$$

$$p = \frac{f\,p^{\prime}}{p^{\prime} - f} = \frac{35 \times 35{,}3}{0{,}3}$$

$$p \approx 4118\ \text{mm} \approx 4\ \text{m}$$

Conferindo: um objeto a uns 4 m forma a imagem um pouquinho além do foco, exatamente no filme. Objetos mais distantes (até o infinito) formam imagem um pouco antes, com mancha de até 0,03 mm, que ainda parece nítida. É por isso que a câmera de foco fixo funciona bem para quase tudo que está longe.

⚠️ A armadilha: no item (a), responder $d = 35$ mm, como se o filme estivesse no foco. O enunciado diz que a imagem do infinito se forma antes do filme: é a mancha de 0,03 mm que dá os 0,3 mm a mais. No item (b), usar $p^{\prime} = 35$ mm leva a $p$ infinito.

A ideia em uma frase: o cone de luz que converge para o foco se abre de novo depois dele, e a semelhança de triângulos transforma o tamanho da mancha na distância extra até o filme.

Resposta: (a) d = 35,3 mm; (b) cerca de 4,1 × 10³ mm, ou seja, aproximadamente 4 m.