UNICAMP 2002 (2ª fase) — questão 2 de Física

Resolução comentada

O que a questão pede: o alcance do projétil pela física de Galileu, a altura máxima pela mesma física e a altura máxima pela ideia (errada) do impetus, em que o projétil sobe em linha reta e depois cai na vertical.

Item (a) — decompor a velocidade. Na física de Galileu, o movimento horizontal é uniforme e o vertical é uniformemente variado (só a gravidade atua). As componentes da velocidade inicial são:

$$v_{0x} = 100\cos 30^\circ = 50\sqrt{3}$$

$$v_{0x} = 50 \times 1{,}8 = 90\ \text{m/s}$$

$$v_{0y} = 100\,\text{sen}\,30^\circ = 50\ \text{m/s}$$

O projétil sobe até a velocidade vertical zerar e desce no mesmo tempo. O tempo total de voo é:

$$t_{\text{voo}} = \frac{2v_{0y}}{g} = \frac{2 \times 50}{10} = 10\ \text{s}$$

Nesse tempo, ele anda na horizontal com 90 m/s constantes:

$$A = v_{0x}\,t_{\text{voo}} = 90 \times 10 = 900\ \text{m}$$

Item (b) — a altura máxima de Salviati. No ponto mais alto, a velocidade vertical é zero. Por Torricelli na vertical:

$$0 = v_{0y}^2 - 2gH$$

$$H = \frac{v_{0y}^2}{2g} = \frac{50^2}{20} = 125\ \text{m}$$

Item (c) — a altura de Simplício. Para Simplício, o projétil segue em linha reta, inclinado de 30°, e só cai na vertical quando o impetus acaba. Como os dois concordam no alcance, a queda vertical acontece exatamente acima do ponto a 900 m do canhão. Então a trajetória é um triângulo retângulo: cateto horizontal de 900 m, cateto vertical igual à altura máxima $h$, e ângulo de 30° no canhão:

$$\text{tg}\,30^\circ = \frac{h}{900}$$

$$\text{tg}\,30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{1{,}8}{3} = 0{,}6$$

$$h = 900 \times 0{,}6 = 540\ \text{m}$$

Com o valor exato $\text{tg}\,30^\circ \approx 0{,}577$, dá cerca de 520 m. A banca aceitou os valores entre 495 m e 540 m, conforme a aproximação usada para a tangente.

Conferindo: a altura de Simplício (540 m) é mais de quatro vezes a de Salviati (125 m). Faz sentido: a trajetória reta “não sente” a gravidade e por isso sobe muito mais que a parábola.

⚠️ A armadilha: no item (c), usar a altura de 125 m ou recalcular um alcance diferente para Simplício. O enunciado diz que os dois concordam só no alcance: é ele (900 m) que fixa onde a linha reta termina. Outro erro é trocar seno por cosseno na decomposição e achar $v_{0x} = 50$ m/s.

A ideia em uma frase: na física de Galileu, o projétil faz uma parábola (horizontal uniforme, vertical acelerado); a reta do impetus só serve para mostrar quanto a gravidade “dobra” a trajetória.

Resposta: (a) 900 m; (b) 125 m; (c) cerca de 540 m (com tg 30° = 0,6; com o valor exato da tangente, cerca de 520 m).