UNICAMP 2002 (2ª fase) — questão 4 de Física

DiscursivaDinâmica — conservação da quantidade de movimento no decaimento beta2ª fase · Física (discursiva)
Enunciado — imagem da prova
Enunciado da questão 4 de Física do UNICAMP 2002 (2ª fase)

Enunciado em texto

Utilize g = 10 m/s² sempre que necessário na resolução dos problemas.

A existência do neutrino e do anti-neutrino foi proposta em 1930 por Wolfgang Pauli, que aplicou as leis de conservação de quantidade de movimento e energia ao processo de desintegração β. O esquema abaixo ilustra esse processo para um núcleo de trítio, H³ (um isótopo do hidrogênio), que se transforma em um núcleo de hélio, He³, mais um elétron, e⁻, e um anti-neutrino, ν‾\overline{\nu}. O núcleo de trítio encontra-se inicialmente em repouso. Após a desintegração, o núcleo de hélio possui uma quantidade de movimento com módulo de 12×10−2412 \times 10^{-24} kg m/s e o elétron sai em uma trajetória fazendo um ângulo de 60º com o eixo horizontal e uma quantidade de movimento de módulo 6,0×10−246{,}0 \times 10^{-24} kg m/s.

a) O ângulo α que a trajetória do anti-neutrino faz com o eixo horizontal é de 30º. Determine o módulo da quantidade de movimento do anti-neutrino.

b) Qual é a velocidade do núcleo de hélio após a desintegração? A massa do núcleo de hélio é 5,0×10−275{,}0 \times 10^{-27} kg.

(Figura: o núcleo H³ no centro, sobre um eixo horizontal tracejado. O núcleo He³ sai para a esquerda, ao longo do eixo horizontal. O elétron e⁻ sai para cima e para a direita, numa trajetória que forma 60° com o eixo horizontal. O anti-neutrino sai para baixo e para a direita, numa trajetória que forma o ângulo α com o eixo horizontal.)

(Enunciado e figura: Vestibular Unicamp 2002, 2ª fase — Comvest/Unicamp.)

Transcrição do enunciado original da prova, reproduzido para fins de estudo. Todos os direitos do enunciado pertencem à UNICAMP.

Resolução comentada

O que a questão pede: (a) a quantidade de movimento do anti-neutrino; (b) a velocidade do núcleo de hélio.

Item (a) — o que se conserva. O trítio estava parado, então a quantidade de movimento total antes era zero. A desintegração é causada só por forças internas, logo a soma vetorial das quantidades de movimento das três partículas depois também é zero. Vale separar em duas direções.

Na vertical, só o elétron (para cima) e o anti-neutrino (para baixo) têm componente. O hélio anda na horizontal. As componentes verticais têm de se cancelar:

Qe sen 60∘=Qν sen 30∘Q_e\,\text{sen}\,60^\circ = Q_{\nu}\,\text{sen}\,30^\circ

6,0×32=Qν×126{,}0 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = Q_{\nu} \times \frac{1}{2}

Qν=63×10−24Q_{\nu} = 6\sqrt{3} \times 10^{-24}

Qν≈10×10−24 kg⋅m/sQ_{\nu} \approx 10 \times 10^{-24}\ \text{kg}\cdot\text{m/s}

(Com 3≈1,73\sqrt{3} \approx 1{,}73, dá 10,4×10−2410{,}4 \times 10^{-24} kg·m/s, ou seja, cerca de 1,0×10−231{,}0 \times 10^{-23} kg·m/s.)

Conferindo na horizontal: elétron e anti-neutrino vão para a direita e têm de equilibrar o hélio, que vai para a esquerda:

Qecos⁡60∘+Qνcos⁡30∘Q_e\cos 60^\circ + Q_{\nu}\cos 30^\circ

=6×12+63×32= 6 \times \tfrac{1}{2} + 6\sqrt{3} \times \tfrac{\sqrt{3}}{2}

=3+9=12×10−24= 3 + 9 = 12 \times 10^{-24}

Bate exatamente com o valor do hélio: os dados são coerentes.

Item (b) — da quantidade de movimento à velocidade. Como Q=mvQ = mv:

vHe=QHemHe=12×10−245,0×10−27v_{He} = \frac{Q_{He}}{m_{He}} = \frac{12 \times 10^{-24}}{5{,}0 \times 10^{-27}}

vHe=2,4×103 m/sv_{He} = 2{,}4 \times 10^{3}\ \text{m/s}

⚠️ A armadilha: somar os módulos como se fossem números comuns (12=6+Qν12 = 6 + Q_\nu, dando 6×10−246 \times 10^{-24}). Quantidade de movimento é vetor: a conservação vale componente por componente. Outro tropeço é trocar seno e cosseno: o elétron faz 60° com a horizontal, então sua componente vertical usa o seno de 60°.

A ideia em uma frase: partindo do repouso, a soma vetorial das quantidades de movimento continua zero — foi exatamente esse “balanço que não fechava” só com o elétron que levou Pauli a propor o neutrino.

Resposta: (a) Qν=63×10−24≈1,0×10−23Q_\nu = 6\sqrt{3} \times 10^{-24} \approx 1{,}0 \times 10^{-23} kg·m/s; (b) 2,4×1032{,}4 \times 10^{3} m/s.

Vídeo em breve

A resolução em vídeo desta questão ainda não foi gravada. A explicação escrita acima está completa, passo a passo. Novos vídeos saem no canal do Professor Filatte.

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