UNICAMP 2002 (2ª fase) — questão 11 de Física

Resolução comentada

O que a questão pede: (a) a unidade de σ no SI, tirada da própria fórmula; (b) o valor de σ para a água, a partir de f e λ.

Item (a) — isolar σ e trocar cada grandeza pela sua unidade. Elevando a equação ao quadrado:

$$v^2 = \frac{2\pi\sigma}{\rho\lambda}$$

$$\sigma = \frac{v^2\rho\lambda}{2\pi}$$

O $2\pi$ não tem unidade. Então:

$$[\sigma] = \frac{\text{m}^2}{\text{s}^2}\cdot\frac{\text{kg}}{\text{m}^3}\cdot\text{m}$$

$$[\sigma] = \frac{\text{kg}}{\text{s}^2} = \frac{\text{N}}{\text{m}}$$

(Lembre que $1\ \text{N} = 1\ \text{kg}\cdot\text{m/s}^2$, então kg/s² é o mesmo que N/m.)

Item (b) — a velocidade vem da equação fundamental da onda.

$$v = \lambda f = 2{,}0 \times 10^{-3} \times 250$$

$$v = 0{,}5\ \text{m/s}$$

Agora é só substituir na expressão de σ, com a densidade da água $\rho = 1{,}0 \times 10^3$ kg/m³ e $\pi \approx 3$:

$$\sigma = \frac{0{,}5^2 \times 10^3 \times 2 \times 10^{-3}}{2 \times 3}$$

$$\sigma = \frac{0{,}5}{6} \approx 0{,}08\ \text{N/m}$$

Conferindo: o valor de tabela da tensão superficial da água é cerca de 0,07 N/m. A medida pelas ondas chega bem perto.

⚠️ A armadilha: esquecer de elevar ao quadrado: isolando σ direto da raiz, sai $\sigma = v\rho\lambda/2\pi$ e um valor errado (e com unidade errada). Outro tropeço é deixar λ em milímetros.

A ideia em uma frase: a unidade de uma grandeza sai da fórmula que a define; e, numa onda, a velocidade é sempre λ·f.

Resposta: (a) kg/s², que é o mesmo que N/m; (b) σ ≈ 0,08 N/m.