UNICAMP 2001 (2ª fase) — questão 7 de Física

Resolução comentada

O que a questão pede: (a) a unidade de σ; (b) o peso da viga; (c) quão mais grossa tem de ser uma viga com o dobro do comprimento para aguentar o próprio peso.

Item (a) — análise dimensional. Isolando σ na fórmula de Galileu:

$$\sigma = \frac{F L}{d^3} \Rightarrow [\sigma] = \frac{\text{N} \cdot \text{m}}{\text{m}^3}$$

$$[\sigma] = \frac{\text{N}}{\text{m}^2} = \frac{\text{kg}}{\text{m} \cdot \text{s}^2}$$

Ou seja, σ tem unidade de pressão: N/m², que é o pascal (Pa).

Item (b) — peso = peso específico × volume. A viga é um cilindro de diâmetro d (raio d/2) e comprimento L:

$$V = \pi \left(\frac{d}{2}\right)^2 L = \frac{\pi d^2 L}{4}$$

$$P = \gamma V = \frac{\pi \gamma d^2 L}{4}$$

Item (c) — quando o próprio peso basta para romper. Tomando, como a banca, o peso da viga no papel da força F da fórmula de Galileu, a viga de diâmetro $d_1$ está no limite de ruptura quando o comprimento é $L_1$:

$$\frac{\pi \gamma d_1^2 L_1}{4} = \frac{\sigma d_1^3}{L_1}$$

Cancelando $d_1^2$ e isolando $d_1$:

$$d_1 = \frac{\pi \gamma L_1^2}{4\sigma}$$

O diâmetro limite cresce com o quadrado do comprimento. Para o comprimento $2L_1$:

$$d_{\text{min}} = \frac{\pi \gamma (2L_1)^2}{4\sigma} = 4\,d_1$$

Por que é mínimo: a resistência ($\sigma d^3/L$) cresce com $d^3$, mais depressa que o peso, que cresce com $d^2$. Com d maior que $4d_1$, a viga aguenta com folga; com d menor, ela se rompe.

Um detalhe honesto: o peso não está concentrado no centro, como F; ele se distribui pela viga, o que muda a constante da conta. Mas a proporção $d \propto L^2$ não depende disso, e a resposta $4d_1$ continua valendo.

⚠️ A armadilha: responder $2d_1$, achando que dobrar o comprimento pede dobrar o diâmetro. Não é proporcional: o peso cresce com $d^2 L$ e a resistência com $d^3/L$, e daí sai $d \propto L^2$. É a ideia de Galileu de que não dá para simplesmente “ampliar” uma estrutura: um animal ou um prédio duas vezes maior precisa de ossos ou vigas proporcionalmente bem mais grossos.

A ideia em uma frase: o peso cresce com d²L e a resistência com d³/L: para aguentar o próprio peso, o diâmetro tem de crescer com o quadrado do comprimento.

Resposta: (a) N/m² (= Pa = kg/(m·s²)); (b) $P = \dfrac{\pi \gamma d^2 L}{4}$; (c) $d_{\text{min}} = 4\,d_1$.