UNICAMP 2001 (2ª fase) — questão 2 de Física

DiscursivaDinâmica — movimento circular: o regulador centrífugo das máquinas a vapor (pêndulo cônico)2ª fase · Física (discursiva)
Enunciado — imagem da prova
Enunciado da questão 2 de Física do UNICAMP 2001 (2ª fase)

Enunciado em texto

Utilize g = 10 m/s² sempre que necessário na resolução dos problemas.

As máquinas a vapor, que foram importantíssimas na Revolução Industrial, costumavam ter um engenhoso regulador da sua velocidade de rotação, como é mostrado esquematicamente na figura abaixo. As duas massas afastavam-se do eixo devido ao movimento angular e acionavam um dispositivo regulador da entrada de vapor, controlando assim a velocidade de rotação, sempre que o ângulo θ\theta atingia 30°. Considere hastes de massa desprezível e comprimento L = 0,2 m, com massas m = 0,18 kg em suas pontas, d = 0,1 m e aproxime 3≅1,8\sqrt{3} \cong 1{,}8.

(Figura: um eixo de rotação vertical gira com velocidade angular Ω\Omega. No alto, preso ao eixo, há um braço horizontal; em cada lado, a uma distância d do eixo, há uma articulação. De cada articulação pende uma haste de comprimento L com uma massa m na ponta. Cada haste forma o ângulo θ\theta com a vertical, e as massas ficam afastadas do eixo.)

a) Faça um diagrama indicando as forças que atuam sobre uma das massas m.

b) Calcule a velocidade angular Ω\Omega para a qual θ=30∘\theta = 30^{\circ}.

(Enunciado e figura: Vestibular Unicamp 2001, 2ª fase — Comvest/Unicamp.)

Transcrição do enunciado original da prova, reproduzido para fins de estudo. Todos os direitos do enunciado pertencem à UNICAMP.

Resolução comentada

O que a questão pede: (a) as forças sobre uma das bolas; (b) a velocidade de rotação que deixa as hastes a 30° da vertical.

Item (a) — o diagrama. Sobre cada massa agem só duas forças:

• o peso mg, vertical, para baixo;

• a tração T da haste, ao longo da haste, apontando para a articulação (para cima e na direção do eixo).

Decompondo T: a componente vertical, Tcos⁡θT\cos\theta, equilibra o peso; a componente horizontal, T sen θT\,\text{sen}\,\theta, aponta para o eixo e é a força centrípeta. Não existe uma “força centrífuga” a ser desenhada: quem segura a bola na curva é a haste.

Item (b) — o raio da circunferência. A bola gira em torno do eixo num círculo horizontal. O raio é a distância d até a articulação mais o afastamento da haste inclinada:

r=d+L sen θ=0,1+0,2×0,5r = d + L\,\text{sen}\,\theta = 0{,}1 + 0{,}2 \times 0{,}5

r=0,2 mr = 0{,}2\ \text{m}

As duas equações: na vertical não há aceleração; na horizontal, a resultante é centrípeta:

Tcos⁡θ=mgT\cos\theta = m g

T sen θ=m Ω2rT\,\text{sen}\,\theta = m\,\Omega^2 r

Dividindo a segunda pela primeira, T e m somem:

tg θ=Ω2rg⇒Ω2=g tg θr\text{tg}\,\theta = \frac{\Omega^2 r}{g} \Rightarrow \Omega^2 = \frac{g\,\text{tg}\,\theta}{r}

Com a aproximação do enunciado, tg 30∘=33≅1,83=0,6\text{tg}\,30^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{3} \cong \frac{1{,}8}{3} = 0{,}6:

Ω2=10×0,60,2=30\Omega^2 = \frac{10 \times 0{,}6}{0{,}2} = 30

Ω=30≈5,5 rad/s\Omega = \sqrt{30} \approx 5{,}5\ \text{rad/s}

Sem a aproximação, tg 30∘=0,577\text{tg}\,30^{\circ} = 0{,}577 e Ω≈5,4\Omega \approx 5{,}4 rad/s; a diferença vem só do 3≅1,8\sqrt{3} \cong 1{,}8 pedido no enunciado.

Conferindo: a massa m = 0,18 kg não entra na resposta. Faz sentido: o peso e a força centrípeta são ambos proporcionais à massa, e o ângulo depende só da razão entre eles.

⚠️ A armadilha: usar como raio só L sen θ=0,1L\,\text{sen}\,\theta = 0{,}1 m, esquecendo que a articulação já está a d = 0,1 m do eixo. O raio ficaria pela metade e daria Ω=60≈7,7\Omega = \sqrt{60} \approx 7{,}7 rad/s.

A ideia em uma frase: a haste puxa a bola: a parte vertical da tração segura o peso e a horizontal faz a curva, e daí tg θ = Ω²r/g.

Resposta: (a) peso mg vertical para baixo e tração T ao longo da haste, para a articulação; (b) Ω=30≈5,5\Omega = \sqrt{30} \approx 5{,}5 rad/s.

Vídeo em breve

A resolução em vídeo desta questão ainda não foi gravada. A explicação escrita acima está completa, passo a passo. Novos vídeos saem no canal do Professor Filatte.

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