UNICAMP 2001 (2ª fase) — questão 5 de Física

Resolução comentada

O que a questão pede: (a) de que altitude o pára-quedista tem de saltar para que sua velocidade-limite passe de 340 m/s; (b) até onde o balão consegue subir.

Item (a), passo 1 — a densidade que permite 340 m/s. A velocidade-limite cresce quando o ar fica mais rarefeito. Para ela passar de 340 m/s:

$$\frac{80}{\sqrt{\rho}} > 340 \Rightarrow \sqrt{\rho} < \frac{80}{340}$$

$$\rho < \frac{6400}{115\,600} \approx 0{,}055\ \text{kg/m}^3$$

Passo 2 — em que altitude o ar tem essa densidade. Pela tabela, a 20 000 m a densidade é 0,09 (velocidade-limite de 80/0,3 ≈ 267 m/s) e a 25 000 m é 0,04 (80/0,2 = 400 m/s). O valor 0,055 está entre os dois; interpolando, perto de 23 000 m. Abaixo dessa altitude, nem a velocidade máxima passa do som.

Passo 3 — a distância para ganhar velocidade. O pára-quedista não atinge a velocidade-limite logo que salta: precisa de até 5 km de queda. Então ele tem de saltar uns 5 km acima da altitude crítica, para chegar a ela já com a velocidade máxima:

$$h_{\text{min}} \approx 23\,000 + 5\,000 = 28\,000\ \text{m}$$

A altitude mínima de salto está no intervalo entre 25 000 m e 30 000 m (cerca de 28 000 m).

Item (b) — o balão sobe enquanto o empuxo vence o peso. O empuxo é o peso do ar deslocado, $\rho_{\text{ar}} V g$. Conforme o balão sobe, o ar fica mais rarefeito e o empuxo diminui. A altitude máxima é onde ele se iguala ao peso:

$$\rho_{\text{ar}} V g = M g$$

$$\rho_{\text{ar}} = \frac{M}{V} = \frac{200}{10\,000} = 0{,}02\ \text{kg/m}^3$$

Pela tabela, essa densidade corresponde a 30 000 m.

Conferindo a coerência: o balão chega a 30 000 m, e o salto precisa de uns 28 000 m. Dá para fazer, mas com pouca folga.

⚠️ A armadilha: no item (a), responder só “entre 20 000 e 25 000 m”, que é a faixa em que a velocidade-limite passa de 340 m/s. Esquece-se que o pára-quedista precisa de alguns quilômetros de queda para atingir essa velocidade, e por isso tem de saltar mais alto.

A ideia em uma frase: no ar rarefeito a velocidade-limite é maior, mas é preciso cair alguns quilômetros para atingi-la; e o balão sobe até onde o ar deslocado pesa tanto quanto ele.

Resposta: (a) entre 25 000 m e 30 000 m (cerca de 28 000 m: a altitude em que $\rho \approx 0{,}055$ kg/m³, perto de 23 000 m, mais 5 000 m de queda); (b) 30 000 m.