UNICAMP 1999 (2ª fase) — questão 7 de Física

Resolução comentada

O que a questão pede: (a) quanto o período do pêndulo aumentou a 30 °C; (b) o coeficiente de dilatação linear da haste.

Item (a) — o relógio conta oscilações. O mecanismo avança o ponteiro um tanto fixo a cada oscilação, calibrado para o período de 20 °C. A 30 °C, cada oscilação demora mais, e o relógio fica para trás. Quando ele marca um dia inteiro, $24 \times 3600 = 86\,400$ s, na verdade se passaram $86\,400 + 8{,}64$ s. O número de oscilações é o mesmo nos dois tempos, então a razão entre os períodos é a razão entre os tempos:

$$\frac{\tau_{30}}{\tau_{20}} = \frac{86\,400 + 8{,}64}{86\,400}$$

$$\frac{\tau_{30}}{\tau_{20}} = 1 + 10^{-4} = 1{,}0001$$

(Se o atraso for contado sobre 24 h reais em vez de 24 h marcadas, a diferença só aparece depois da oitava casa decimal.)

Item (b) — período e comprimento. O período do pêndulo simples é $\tau = 2\pi\sqrt{L/g}$: ele é proporcional à raiz do comprimento. Elevando a razão ao quadrado:

$$\frac{L_{30}}{L_{20}} = \left(\frac{\tau_{30}}{\tau_{20}}\right)^2 = 1{,}0001^2 = 1{,}0002$$

Pela dilatação linear, $L_{30} = L_{20}(1 + \alpha\,\Delta T)$, com $\Delta T = 10$ °C:

$$1 + \alpha \times 10 = 1{,}0002$$

$$\alpha = \frac{0{,}0002}{10} = 2{,}0 \times 10^{-5}\ ^\circ\text{C}^{-1}$$

É um valor típico de metal (o latão, por exemplo, fica perto disso).

⚠️ A armadilha: esquecer que o período vai com a raiz de L e fazer $1 + 10\alpha = 1{,}0001$, o que dá $\alpha = 1{,}0 \times 10^{-5}\ ^\circ\text{C}^{-1}$, metade do certo. A dica $(1{,}0001)^2 = 1{,}0002$ está no enunciado justamente para lembrar do quadrado.

A ideia em uma frase: o relógio atrasa porque cada oscilação ficou 1/10 000 mais longa; como o período vai com √L, o comprimento cresceu 2/10 000 em 10 °C.

Resposta: (a) $\tau_{30}/\tau_{20} = 1{,}0001$; (b) $\alpha = 2{,}0 \times 10^{-5}\ ^\circ\text{C}^{-1}$.