UNICAMP 1999 (2ª fase) — questão 6 de Física

Resolução comentada

O que a questão pede: (a) o comprimento do cabo sem esticar; (b) a constante elástica k do cabo.

Item (a) — a queda livre. Enquanto o cabo não estica, só o peso age: é queda livre a partir do repouso. Ela termina, com 20 m/s, exatamente quando a pessoa já caiu o comprimento normal $L$ do cabo:

$$m\,g\,L = \frac{m\,v^2}{2} \;\Rightarrow\; L = \frac{v^2}{2g}$$

$$L = \frac{20^2}{2 \times 10} = \frac{400}{20} = 20\ \text{m}$$

Item (b) — o ponto mais baixo. Lá o cabo tem o dobro do comprimento normal, 40 m: ele esticou $x = L = 20$ m, e a pessoa desceu ao todo $2L = 40$ m desde o salto. Do salto até o ponto mais baixo, ela parte do repouso e para de novo; toda a energia potencial gravitacional perdida virou energia elástica:

$$m\,g\,(2L) = \frac{k\,L^2}{2}$$

$$80 \times 10 \times 40 = \frac{k \times 20^2}{2}$$

$$32\,000 = 200\,k$$

$$k = 160\ \text{N/m}$$

Conferindo, a partir do instante em que o cabo começa a esticar (20 m/s) até o ponto mais baixo:

$$\frac{m\,v^2}{2} + m\,g\,x = \frac{k\,x^2}{2}$$

$$16\,000 + 16\,000 = 200\,k$$

$$k = 160\ \text{N/m}$$

Uma observação de física: a rigor, a velocidade máxima não acontece no instante em que o cabo começa a esticar, mas um pouco depois, quando a força elástica iguala o peso. O enunciado chama de “queda” só o trecho em que age apenas a gravidade, e a resolução acima segue essa leitura, que é a da resposta esperada. A banca publicou também a solução da outra leitura (velocidade máxima no ponto em que $kx = mg$), que dá $L = 160/9 \approx 17{,}8$ m e $k = 180$ N/m, e pontuou quem a fez corretamente.

⚠️ A armadilha: no ponto mais baixo, usar só a queda de 20 m na energia gravitacional (ou usar 40 m como deformação do cabo). A pessoa desceu 40 m no total, mas o cabo só esticou 20 m.

A ideia em uma frase: a queda livre dá o comprimento do cabo (v² = 2gL), e no ponto mais baixo toda a energia gravitacional dos 40 m vira energia elástica dos 20 m de deformação.

Resposta: (a) $L = 20$ m; (b) $k = 160$ N/m.