UNICAMP 1998 (2ª fase) — questão 11 de Física
Enunciado em texto
Adote a aceleração da gravidade .
A figura abaixo representa exageradamente a trajetória de um planeta em torno do Sol. O sentido do percurso é indicado pela seta. O ponto V marca o início do verão no hemisfério sul e o ponto I marca o início do inverno. O ponto P indica a maior aproximação do planeta ao Sol, o ponto A marca o maior afastamento. Os pontos V, I e o Sol são colineares, bem como os pontos P, A e o Sol.
(Figura: uma elipse com o eixo maior na horizontal. O Sol fica sobre o eixo maior, perto da extremidade direita. P é a extremidade direita (a mais próxima do Sol) e A a extremidade esquerda. Uma reta tracejada passa pelo Sol e liga I, na parte de cima da elipse, um pouco à esquerda do centro, a V, na parte de baixo, à direita, perto de P. O planeta aparece na parte de baixo da elipse, com uma seta para a direita: o percurso é A → V → P → I → A, no sentido anti-horário.)
a) Em que ponto da trajetória a velocidade do planeta é máxima? Em que ponto essa velocidade é mínima? Justifique sua resposta.
b) Segundo Kepler, a linha que liga o planeta ao Sol percorre áreas iguais em tempos iguais. Coloque em ordem crescente os tempos necessários para realizar os seguintes percursos: VPI, PIA, IAV, AVP.
(Enunciado e figura: Vestibular Unicamp 1998, 2ª fase — Comvest/Unicamp.)
Transcrição do enunciado original da prova, reproduzido para fins de estudo. Todos os direitos do enunciado pertencem à UNICAMP.
Resolução comentada
O que a questão pede: (a) onde o planeta anda mais depressa e onde anda mais devagar; (b) comparar os tempos de quatro trechos da órbita usando a lei das áreas.
Item (a) — lei das áreas. Em tempos iguais, a linha Sol–planeta varre áreas iguais. Perto do Sol essa linha é curta; para varrer a mesma área no mesmo tempo, o planeta tem de percorrer um arco maior, isto é, andar mais depressa. Longe do Sol, a linha é comprida e um arco pequeno já basta.
Logo a velocidade é máxima em P (periélio, menor distância ao Sol) e mínima em A (afélio, maior distância).
Outra justificativa (aceita pela banca): a energia mecânica do planeta é constante. Em P a energia potencial gravitacional é a menor (ele está mais perto do Sol), então a cinética é a maior; em A acontece o contrário.
Item (b) — o tempo é proporcional à área varrida. Basta comparar as áreas:
• PIA e AVP: a reta PA passa pelo Sol e é o eixo maior da elipse, que a divide em duas metades iguais. PIA varre a metade de cima e AVP a de baixo: os dois levam meio período.
• VPI: comparado com PIA, ele ganha o trecho VP e perde o trecho IA. Os dois trechos são “fatias” com o mesmo ângulo no Sol (as retas VI e PA se cruzam no Sol), mas VP fica do lado perto do Sol e IA do lado longe. A fatia perto do Sol é menor. Então VPI tem área menor que meia elipse.
• IAV: é o que sobra da elipse depois de VPI, então tem área maior que meia elipse.
Curiosidade: na Terra, o periélio cai no começo de janeiro. Por isso o semestre que vai do início do verão ao início do inverno no hemisfério sul (o trecho VPI) é cerca de dois dias mais curto que o outro. A diferença é pequena porque a órbita da Terra é quase circular: o desenho é exagerado, como diz o enunciado.
⚠️ A armadilha: comparar os percursos pelo comprimento do arco, e não pela área varrida. VPI e IAV podem parecer arcos parecidos, mas o que manda no tempo é a área entre o arco e o Sol.
A ideia em uma frase: a linha Sol–planeta varre áreas iguais em tempos iguais: perto do Sol o planeta corre, longe dele se arrasta, e o tempo de cada trecho é proporcional à área varrida.
Resposta: (a) máxima em P e mínima em A (lei das áreas, ou conservação da energia); (b) .
Vídeo em breve
A resolução em vídeo desta questão ainda não foi gravada. A explicação escrita acima está completa, passo a passo. Novos vídeos saem no canal do Professor Filatte.
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