ITA 2024 — questão 6 de Física

Resolução comentada

O que a questão pede: quanto tempo, a 30 °C, os pêndulos levam para ficar meio ciclo fora de sincronia, já que os fios dilataram de jeitos diferentes.

Passo 1 — o novo comprimento de cada fio. Os dois fios tinham o mesmo comprimento $L_0$ a 10 °C. Com $\Delta\theta = 20$ °C:

$$L_i = L_0\,(1 + \alpha_i\,\Delta\theta)$$

$$\alpha_1\Delta\theta = 4\times10^{-4}$$

$$\alpha_2\Delta\theta = 1{,}4\times10^{-3}$$

Passo 2 — o novo período. O período do pêndulo simples é $T = 2\pi\sqrt{L/g}$, proporcional a $\sqrt{L}$. Usando a aproximação dada, $(1 + x)^{1/2} \approx 1 + x/2$:

$$T_i = T_0\,(1 + \alpha_i\Delta\theta)^{1/2}$$

$$T_i \approx T_0\left(1 + \frac{\alpha_i\Delta\theta}{2}\right)$$

$$T_1 \approx 2(1 + 2\times10^{-4}) = 2{,}0004\ \text{s}$$

$$T_2 \approx 2(1 + 7\times10^{-4}) = 2{,}0014\ \text{s}$$

Passo 3 — o atraso acumulado. A cada oscilação, o pêndulo 2 fica $T_2 - T_1 = 0{,}001$ s mais atrasado que o 1. Meio ciclo de defasagem significa um atraso de meio período, $1$ s. O número de oscilações para isso é:

$$N = \frac{1\ \text{s}}{0{,}001\ \text{s}} = 1000$$

$$t \approx 1000 \cdot 2\ \text{s} = 2000\ \text{s}$$

$$t \approx 33\ \text{min}$$

Conferindo pelas frequências: $f = 1/T$, então $\Delta f \approx \Delta T/T^2 = 0{,}001/4 = 2{,}5\times10^{-4}$ Hz. A defasagem (em ciclos) cresce como $\Delta f\cdot t$; meio ciclo exige $t = 0{,}5/\Delta f = 2000$ s. Mesmo resultado.

⚠️ A armadilha: esquecer a raiz e achar que o período cresce na mesma proporção do comprimento. A diferença de períodos dobra (0,002 s), o tempo cai à metade, 1000 s $\approx$ 17 min, e você marca a alternativa A. Outro erro é esperar uma defasagem de um ciclo inteiro em vez de meio: 4000 s $\approx$ 67 min, a alternativa D.

A ideia em uma frase: T ∝ √L, então uma dilatação relativa ε muda o período em ε/2; a diferença minúscula entre os períodos vai se acumulando até virar meio período.

Resposta: alternativa B (cerca de 33 min).