ITA 2024 — questão 5 de Física

Resolução comentada

O que a questão pede: usar a variação do tamanho aparente de Marte para achar o raio da órbita dele e, com a 3ª lei de Kepler, o período.

Passo 1 — as distâncias. Use órbitas circulares e a unidade astronômica (UA): a Terra está a 1 UA do Sol e Marte, a $r$ UA. Na oposição (Terra entre o Sol e Marte), a distância Terra–Marte é a menor: $r - 1$. Na conjunção (Sol entre os dois), é a maior: $r + 1$.

Passo 2 — área aparente. O diâmetro aparente de um objeto é inversamente proporcional à distância, e a área aparente, ao quadrado da distância. A área fica 60 vezes maior, então a distância muda $\sqrt{60} \approx 7{,}7$ vezes:

$$\frac{r + 1}{r - 1} = 7{,}7$$

$$r + 1 = 7{,}7\,r - 7{,}7 \;\Rightarrow\; 6{,}7\,r = 8{,}7$$

$$r \approx 1{,}30\ \text{UA}$$

Passo 3 — 3ª lei de Kepler. Para dois planetas do mesmo Sol, $T^2/r^3$ é o mesmo. Com $T$ em anos e $r$ em UA, a Terra dá $1/1$, então:

$$T = r^{3/2} = 1{,}30\cdot\sqrt{1{,}30}$$

$$T \approx 1{,}30\cdot 1{,}14 \approx 1{,}48\ \text{ano}$$

Em meses: $1{,}48 \cdot 12 \approx 17{,}8$, ou seja, cerca de 18 meses.

Conferindo: o período tem de ser maior que 12 meses (Marte está mais longe do Sol que a Terra), e um raio só 30% maior dá um período só uns 50% maior, já que $T \propto r^{1{,}5}$.

⚠️ A armadilha: tomar o 60 como razão de diâmetros (ou de distâncias). Aí $\frac{r+1}{r-1} = 60$ dá $r = 61/59 \approx 1{,}034$ UA e $T \approx 1{,}05$ ano $\approx 12{,}6$ meses: alternativa A. O enunciado avisa que o 60 é de área; por isso entra a raiz.

A ideia em uma frase: a área aparente cai com o quadrado da distância; a raiz de 60 dá a razão entre as distâncias máxima e mínima, isso dá o raio da órbita, e Kepler dá o período.

Resposta: alternativa B (cerca de 18 meses).