ITA 2024 — questão 11 de Física

Gabarito CMagnetismo — indução numa sonda dentro de um solenoide1ª fase · Física

Enunciado da questão 11 de Física do ITA 2024 — Enunciado — imagem da prova

Enunciado em texto

Uma sonda composta por um conjunto de $m$ espiras de raio $r$ é colocada no interior de um solenoide de $n$ espiras circulares e comprimento $L$ . O solenoide é conectado a um circuito $C$ composto por uma fonte de tensão variável $U$ e um resistor de resistência elétrica $R$ . A tensão da fonte cresce linearmente com o tempo $t$ , conforme a relação:

$U = \left(\frac{U_0}{t_0}\right)t,\quad \left(\frac{U_0}{t_0}\right) > 0.$

A sonda é conectada a um voltímetro e orientada de modo que o eixo axial de suas espiras seja paralelo ao campo magnético. Considere que $R$ é muito maior do que a resistência/impedância proporcionada pelo solenoide e que a permeabilidade magnética do interior do solenoide é $\mu_0$ .

[Figura: à esquerda, “Vista superior”: um círculo grande (o solenoide) com um círculo pequeno no meio (a sonda), de onde saem dois fios tracejados para a esquerda. À direita, o arranjo: um voltímetro ligado por dois fios à sonda, que está dentro de um cilindro de altura $L$ (o solenoide). O solenoide está ligado ao circuito $C$ , num retângulo tracejado, com o resistor $R$ e a fonte $U$ em série.]

A magnitude da tensão medida pelo voltímetro é:

A) $\frac{mn\mu_0}{2L}\frac{\pi r^2}{R}\frac{U_0}{t_0}$ .

B) $\frac{3mn\mu_0}{2L}\frac{\pi r^2}{R}\frac{U_0}{t_0}$ .

C) $\frac{mn\mu_0}{L}\frac{\pi r^2}{R}\frac{U_0}{t_0}$ .

D) $\frac{2mn\mu_0}{L}\frac{\pi r^2}{R}\frac{U_0}{t_0}$ .

E) $\frac{2n\mu_0}{L}\frac{\pi r^2}{R}\frac{U_0}{t_0}$ .

(Enunciado e figura: Vestibular ITA 2024, 1ª fase — ITA.)

Transcrição do enunciado original da prova, reproduzido para fins de estudo. Todos os direitos do enunciado pertencem ao Instituto Tecnológico de Aeronáutica (ITA).

Resolução comentada

O que a questão pede: a força eletromotriz induzida na sonda pela variação do campo do solenoide.

Passo 1 — a corrente no solenoide. Como $R$ é muito maior que a resistência e a impedância do solenoide, quem limita a corrente é só o resistor:

$i = \frac{U}{R} = \frac{U_0}{R\,t_0}\,t$

Passo 2 — o campo dentro do solenoide. No interior de um solenoide longo, o campo é uniforme e paralelo ao eixo, com $n/L$ espiras por unidade de comprimento:

$B = \mu_0\,\frac{n}{L}\,i$

Passo 3 — o fluxo na sonda. O eixo das espiras da sonda é paralelo a $\vec{B}$ , então o campo atravessa cada uma delas perpendicularmente. São $m$ espiras de área $\pi r^2$ :

$\Phi = m\,B\,\pi r^2 = \frac{m n \mu_0\,\pi r^2}{L\,R}\,\frac{U_0}{t_0}\,t$

Passo 4 — a lei de Faraday. O fluxo cresce linearmente com o tempo, então a fem induzida é constante:

$\varepsilon = \frac{d\Phi}{dt} = \frac{m n \mu_0}{L}\,\frac{\pi r^2}{R}\,\frac{U_0}{t_0}$

É essa tensão que o voltímetro (ideal, sem corrente) mede.

Conferindo as unidades: $\mu_0 n i/L$ é campo (T); vezes área dá fluxo (Wb); dividido por tempo dá volt. Na expressão, $\frac{U_0}{R\,t_0}$ é corrente por tempo (A/s), e $\frac{\mu_0}{L}\cdot\pi r^2$ tem unidade de H (indutância): H·A/s = V.

⚠️ A armadilha: usar o campo na extremidade do solenoide, que é metade do campo no interior, e chegar à alternativa A. A sonda está no interior, onde $B = \mu_0 n i/L$ . Também não se pode esquecer as $m$ espiras da sonda: cada uma soma a sua fem (a alternativa E nem tem o $m$ ).

A ideia em uma frase: tensão subindo em rampa dá corrente em rampa, campo em rampa e fluxo em rampa; a sonda mede uma fem constante, igual à taxa de variação desse fluxo.

Resposta: alternativa C ( $\frac{mn\mu_0}{L}\frac{\pi r^2}{R}\frac{U_0}{t_0}$ ).

Vídeo em breve

A resolução em vídeo desta questão ainda não foi gravada. A explicação escrita acima está completa, passo a passo. Novos vídeos saem no canal do Professor Filatte.

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