ITA 2024 — questão 2 de Física

Resolução comentada

O que a questão pede: a velocidade com que o topo da sombra do objeto sobe pela parede da esquerda, no instante em que a sombra chega à parede.

Passo 1 — onde a sombra bate. Meça $x$ a partir da parede da esquerda e as alturas a partir do piso. A lâmpada cai na vertical $x = 3a$; chame de $y$ a altura dela num instante qualquer. O topo do objeto está em $x = 2a$, altura $h$. O topo da sombra é onde o raio que passa rente ao topo do objeto encontra a parede ($x = 0$).

Da lâmpada ao objeto o raio anda $a$ na horizontal e muda a altura em $(h - y)$. Até a parede ele anda $3a$, ou seja, três vezes mais, e a variação de altura também triplica (semelhança de triângulos). A altura $z$ do topo da sombra na parede é:

$$z = y + 3(h - y) = 3h - 2y$$

Passo 2 — quando a sombra chega à parede. No começo, $y = H$ e $z = 3h - 2H$, que é negativo porque $h < H/2$: o raio bate no piso antes da parede, e a sombra ainda está no chão. Ela começa a subir a parede quando $z = 0$:

$$y = \frac{3h}{2}$$

Até lá, a lâmpada caiu $H - \frac{3}{2}h$ em queda livre, e sua velocidade é:

$$v_{\text{L}} = \sqrt{2g\left(H - \tfrac{3}{2}h\right)}$$

Passo 3 — a velocidade da sombra. Pela relação $z = 3h - 2y$, cada centímetro que a lâmpada desce faz a sombra subir 2 cm. Então a sombra tem, a todo instante, o dobro da velocidade da lâmpada:

$$v_{\text{s}} = 2v_{\text{L}} = 2\sqrt{2g\left(H - \tfrac{3}{2}h\right)}$$

Esse é o valor no instante em que a sombra começa a ser projetada na parede; depois disso ela acelera, junto com a lâmpada.

Conferindo: quando a lâmpada passa pela altura $h$, a fórmula dá $z = h$: o raio fica horizontal e a sombra na parede tem a mesma altura do objeto, como deve ser.

⚠️ A armadilha: achar que a sombra anda com a mesma velocidade da lâmpada e marcar a alternativa A. O fator 2 vem da geometria: a parede está três vezes mais longe da lâmpada que o objeto, e a sombra “amplifica” o movimento da lâmpada. Também é erro tomar a queda até a altura $h$ (alternativas B e E): a sombra chega ao pé da parede quando a lâmpada está em $\frac{3}{2}h$, não em $h$.

A ideia em uma frase: escreva a posição da sombra em função da posição da fonte por semelhança de triângulos; a relação entre as velocidades sai direto dessa fórmula.

Resposta: alternativa D ($2\sqrt{2g(H - \frac{3}{2}h)}$).