ITA 2024 — questão 10 de Física

Resolução comentada

O que a questão pede: a coordenada $x$ em que o próton cruza a reta $y = L/2$, onde está o detetor.

Passo 1 — para que lado o próton curva. A força magnética é $\vec{F} = q\,\vec{v}\times\vec{B}$. O próton ($q > 0$) entra subindo ($+y$), e o campo entra no plano ($-z$). Pela regra da mão direita, $\hat{y}\times(-\hat{z}) = -\hat{x}$: a força aponta para a esquerda, para o eixo $y$.

Passo 2 — o centro da circunferência. A força magnética é perpendicular à velocidade e faz o próton descrever uma circunferência de raio $R$. O centro fica a uma distância $R$ do ponto de entrada, no sentido da força: partindo de $(R, 0)$ e andando $R$ para a esquerda, o centro cai exatamente na origem. A trajetória é:

$$x^2 + y^2 = R^2$$

Passo 3 — o detetor. Como $R > L/2$, o próton chega à altura $y = L/2$ (ainda no primeiro quarto de volta). Ali:

$$x = \sqrt{R^2 - \frac{L^2}{4}} = R\sqrt{1 - \left(\frac{L}{2R}\right)^2}$$

Passo 4 — comparando com as alternativas. Chame $u = L/(2R)$, que está entre 0 e 1. Então:

$$\text{sen}(\arccos u) = \sqrt{1 - u^2}$$

$$\cos(\text{arcsen}\,u) = \sqrt{1 - u^2}$$

As alternativas C e D são a mesma expressão escrita de dois jeitos, e as duas dão a resposta certa. Já A e E usam $L/R$, que é maior que 1 (porque $R < L$): $\text{arcsen}(L/R)$ e $\arccos(L/R)$ nem existem. E a B ($x = 0$) seria o ponto mais alto da trajetória, em $y = R$, não em $y = L/2$.

Conferindo: se $L/2$ fosse quase igual a $R$, o detetor ficaria no topo do círculo, $x \to 0$; se $L/2$ fosse muito menor que $R$, o próton mal teria curvado, $x \to R$. A expressão $\sqrt{R^2 - L^2/4}$ tem esses dois comportamentos.

⚠️ A armadilha: errar o sentido da força e pôr o centro em $(2R, 0)$. O próton curvaria para a direita e cruzaria $y = L/2$ em $x = 2R - \sqrt{R^2 - L^2/4}$, que não está nas alternativas. Com a mão direita (ou $\vec{v}\times\vec{B}$), a força sobre a carga positiva aponta para a esquerda.

A ideia em uma frase: ache o centro da circunferência andando um raio no sentido da força magnética; aqui ele cai na origem, e a posição do detetor sai do teorema de Pitágoras.

Resposta: questão anulada pelo ITA no gabarito oficial. A física dá $x = \sqrt{R^2 - L^2/4}$, e esse valor aparece em duas alternativas, C e D, escrito de dois jeitos equivalentes ($R\,\text{sen}(\arccos u) = R\cos(\text{arcsen}\,u)$ com $u = L/2R$): há duas alternativas corretas.