ITA 2024 — questão 3 de Física

Resolução comentada

O que a questão pede: a altura máxima a que sobe o centro de massa da esfera depois de quicar no solo.

Passo 1 — onde está o centro de massa. Ponha a origem em $S$, no solo. O topo $A$ está em $15R$, então o centro $O$ da esfera está em $14R$ e o centro da cavidade, em $15R - R/2 = 14{,}5R$.

Trate o corpo como uma esfera maciça cheia menos uma esfera de raio $R/2$. Com volume proporcional ao cubo do raio, a esfera cheia “pesa” 8 partes, a cavidade 1 parte, e o que sobra, 7 partes. A cavidade fica $R/2$ acima de $O$, então o CM desce em relação a $O$:

$$\Delta y = -\frac{1\cdot (R/2)}{7} = -\frac{R}{14}$$

O CM fica $R/14 \approx 0{,}07R$ abaixo do centro geométrico. (Conferindo: $8\cdot 0 = 7\cdot\Delta y + 1\cdot\frac{R}{2}$ dá o mesmo.)

Passo 2 — a queda. O ponto mais baixo da esfera está em $14R - R = 13R$; é essa distância que a esfera cai até tocar o solo. Todo o corpo desce o mesmo tanto, então, ao tocar o solo:

$$v^2 = 2g\cdot 13R$$

Nesse instante o CM está a $R - \frac{R}{14} = \frac{13R}{14} \approx 0{,}93R$ do solo.

Passo 3 — o choque. A força do solo atua em $S$ e é vertical; o CM está na mesma vertical, então ela não gera torque em relação ao CM, e a esfera volta subindo sem girar. O coeficiente de restituição multiplica a velocidade:

$$v^\prime = 0{,}80\,v$$

Passo 4 — a subida. A altura que o CM sobe é proporcional ao quadrado da velocidade:

$$\Delta h = \frac{v^{\prime 2}}{2g} = 0{,}64\cdot 13R = 8{,}32R$$

Somando à altura do CM no momento do choque:

$$h_{\text{máx}} = 0{,}93R + 8{,}32R \approx 9{,}25R$$

Isso é aproximadamente 9,3R.

Conferindo: a cavidade só muda o CM em $R/14$. Sem ela, daria $R + 8{,}32R = 9{,}32R$, também 9,3R. O peso do problema está em descobrir de onde a esfera cai (13R, e não 15R) e em usar $e^2$ na altura.

⚠️ A armadilha: aplicar o coeficiente de restituição diretamente à altura: $0{,}80\cdot 13R + 0{,}93R \approx 11{,}3R$, que nem está entre as alternativas. O $e$ multiplica a velocidade; como a altura depende de $v^2$, ela fica multiplicada por $e^2 = 0{,}64$.

A ideia em uma frase: a velocidade no choque depende de quanto o corpo caiu até encostar no solo; depois, a altura recuperada é e² vezes essa queda, contada a partir da posição do CM no choque.

Resposta: alternativa C (aproximadamente 9,3R).