ITA 2024 — questão 12 de Física

Resolução comentada

O que a questão pede: dois eventos são simultâneos para quem está no foguete; quanto tempo os separa para quem está na estação?

Passo 1 — a transformação de Lorentz. No referencial do foguete, as emissões acontecem no mesmo instante ($\Delta t^\prime = 0$) e em pontos separados por $\Delta x^\prime = 700$ m (o comprimento próprio do foguete, ao longo da direção do movimento). No referencial da estação:

$$\Delta t = \gamma\left(\Delta t^\prime + \frac{v\,\Delta x^\prime}{c^2}\right)$$

$$\Delta t = \gamma\,\frac{v\,\Delta x^\prime}{c^2}$$

Passo 2 — o fator $\gamma$. A velocidade é $v = 3\times10^{3}$ km/s $= 3\times10^{6}$ m/s, ou seja, $\beta = v/c = 0{,}01$. Pela aproximação dada:

$$\gamma = (1 - \beta^2)^{-1/2} \approx 1 + \frac{\beta^2}{2}$$

$$\gamma \approx 1{,}00005$$

Na prática, $\gamma = 1$.

Passo 3 — a conta:

$$\Delta t \approx \frac{3\times10^{6}\cdot 700}{(3\times10^{8})^2}$$

$$\Delta t \approx \frac{2{,}1\times10^{9}}{9\times10^{16}}$$

$$\Delta t \approx 2{,}3\times10^{-8}\ \text{s} = 23\ \text{ns}$$

A alternativa mais próxima é 20 ns. (Pelo sinal da fórmula, para a estação, o emissor da frente, o mais distante, dispara depois do de trás.)

Conferindo a ordem de grandeza: $\Delta t = \beta\cdot\frac{L}{c}$. O tempo que a luz leva para percorrer o foguete é $700/(3\times10^8) \approx 2{,}3\ \mu$s; com $\beta = 0{,}01$, o descompasso é 1% disso: 23 ns.

⚠️ A armadilha: confundir o intervalo entre as emissões com o tempo que a luz leva para percorrer o foguete, $L/c \approx 2{,}3\ \mu$s, e marcar a alternativa E. Outra é achar que eventos simultâneos para um observador são simultâneos para todos: na relatividade, eventos em lugares diferentes que são simultâneos num referencial não são simultâneos no outro.

A ideia em uma frase: simultaneidade é relativa: eventos simultâneos separados por $\Delta x^\prime$ no foguete ficam separados por $v\Delta x^\prime/c^2$ no tempo da estação.

Resposta: alternativa C (cerca de 20 ns).