ITA 2024 — questão 4 de Física

Resolução comentada

O que a questão pede: comparar o impulso que um mesmo foguete precisa receber para escapar da Terra saindo do equador e saindo da latitude 60°.

Passo 1 — a ideia. O impulso é a variação da quantidade de movimento: $I = m\,\Delta v$. Para “ir ao espaço” (escapar da Terra), o foguete precisa atingir a velocidade de escape. Só que ele já parte com a velocidade da rotação da Terra no local. Lançando para leste, essa velocidade ajuda, e o foguete só precisa ganhar a diferença:

$$\Delta v = v_{\text{esc}} - v_{\text{rot}}$$

Passo 2 — a velocidade de escape (a mesma nas duas bases):

$$v_{\text{esc}} = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$$

$$\frac{GM}{R} = \frac{6{,}7\times10^{-11}\cdot 6{,}0\times10^{24}}{6{,}4\times10^{6}}$$

$$\frac{GM}{R} \approx 6{,}28\times10^{7}\ \text{m}^2/\text{s}^2$$

$$v_{\text{esc}} = \sqrt{1{,}26\times10^{8}} \approx 1{,}12\times10^{4}\ \text{m/s}$$

Passo 3 — a velocidade de rotação. Um ponto do equador dá uma volta de raio $R$ em um dia (86 400 s):

$$v_1 = \frac{2\pi\cdot 6{,}4\times10^{6}}{86\,400} \approx 465\ \text{m/s}$$

Na latitude 60°, o ponto gira num círculo de raio $R\cos 60^\circ = R/2$, então tem metade dessa velocidade: $v_2 \approx 233$ m/s.

Passo 4 — a razão dos impulsos (primeira base sobre segunda):

$$\frac{I_1}{I_2} = \frac{11\,200 - 465}{11\,200 - 233}$$

$$\frac{I_1}{I_2} = \frac{10\,735}{10\,967} \approx 0{,}98$$

Atalho: com $u = v_1/v_{\text{esc}} \approx 0{,}0415$, a razão é $\frac{1 - u}{1 - u/2}$. Pela aproximação dada na prova, $(1 - u/2)^{-1} \approx 1 + u/2$, e a razão fica $\approx 1 - u/2 \approx 0{,}979$.

Conferindo: se você interpretar “ir ao espaço” como entrar em órbita rasante ($v = \sqrt{GM/R} \approx 7{,}9$ km/s), a razão dá $\approx 0{,}97$: a resposta mais próxima continua sendo 0,98. A rotação da Terra ajuda, mas pouco: só uns 4% da velocidade de escape no equador. É por isso que as bases de lançamento ficam o mais perto possível do equador.

⚠️ A armadilha: inverter a razão. A base do equador precisa de menos impulso, então $I_1/I_2 < 1$; a conta invertida dá cerca de 1,02, que não está entre as alternativas, e a única maior que 1, a alternativa A, é só a isca de quem acha que o equador exige mais. Outro erro é usar a razão das velocidades de rotação (ou $\cos 60^\circ$) como se fosse a resposta: o que interessa é quanto falta para a velocidade de escape, não a rotação sozinha.

A ideia em uma frase: a Terra já dá ao foguete a velocidade da sua rotação, maior no equador; como ela é pequena perto da velocidade de escape, a economia é de só uns 2%.

Resposta: alternativa B (0,98).