UNICAMP 2009 (2ª fase) — questão 5 de Física

DiscursivaEstática — composição de forças (ponte pênsil) e torque de uma força (ponte estaiada)2ª fase · Física (discursiva)
Enunciado — imagem da prova
Enunciado da questão 5 de Física do UNICAMP 2009 (2ª fase)

Enunciado em texto

Grandes construções representam desafios à engenharia e demonstram a capacidade de realização humana. Pontes com estruturas de sustentação sofisticadas são exemplos dessas obras que coroam a mecânica de Newton.

a) A ponte pênsil de São Vicente (SP) foi construída em 1914. O sistema de suspensão de uma ponte pênsil é composto por dois cabos principais. Desses cabos principais partem cabos verticais responsáveis pela sustentação da ponte. O desenho esquemático da figura 1 abaixo mostra um dos cabos principais (AOB), que está sujeito a uma força de tração T⃗\vec{T} exercida pela torre no ponto B. A componente vertical da tração T⃗V\vec{T}_V tem módulo igual a um quarto do peso da ponte, enquanto a horizontal T⃗H\vec{T}_H tem módulo igual a 4,0×1064{,}0 \times 10^6 N. Sabendo que o peso da ponte é P=1,2×107P = 1{,}2 \times 10^7 N, calcule o módulo da força de tração T⃗\vec{T}.

b) Em 2008 foi inaugurada em São Paulo a ponte Octavio Frias de Oliveira, a maior ponte estaiada em curva do mundo. A figura 2 mostra a vista lateral de uma ponte estaiada simplificada. O cabo AB tem comprimento L = 50 m e exerce, sobre a ponte, uma força T⃗AB\vec{T}_{AB} de módulo igual a 1,8×1071{,}8 \times 10^7 N. Calcule o módulo do torque desta força em relação ao ponto O. Dados: sen 45∘=cos⁡45∘=22\text{sen}\,45^{\circ} = \cos 45^{\circ} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}

(Figura 1 – Ponte pênsil: entre duas torres, o cabo principal AOB tem forma de U, com o ponto mais baixo O na origem dos eixos x (horizontal) e y (vertical); dele descem cabos verticais até o tabuleiro da ponte. No ponto B, no alto da torre da direita, atua a tração T⃗\vec{T}, inclinada para cima e para a direita, com a componente vertical T⃗V\vec{T}_V e a horizontal T⃗H\vec{T}_H desenhadas.)

(Figura 2 – Ponte estaiada: uma torre vertical tem o topo B e a base O no tabuleiro. O cabo AB, de comprimento L, vai do ponto A do tabuleiro, à esquerda de O, até B, fazendo 45° com a torre; outro cabo vai de B até o ponto C, à direita. A força T⃗AB\vec{T}_{AB} está desenhada no ponto A, ao longo do cabo, apontando para B.)

(Enunciado e figura: Vestibular Unicamp 2009, 2ª fase — Comvest/Unicamp.)

Transcrição do enunciado original da prova, reproduzido para fins de estudo. Todos os direitos do enunciado pertencem à UNICAMP.

Resolução comentada

O que a questão pede: (a) o módulo da tração no cabo, conhecidas as suas componentes; (b) o torque da força do estai AB em relação à base O da torre.

Item (a) — as componentes. A vertical é um quarto do peso:

TV=1,2×1074=3,0×106 NT_V = \frac{1{,}2 \times 10^7}{4} = 3{,}0 \times 10^6\ \text{N}

As componentes são perpendiculares, então o módulo sai por Pitágoras:

T=TV2+TH2T = \sqrt{T_V^2 + T_H^2}

T=(3,0)2+(4,0)2×106T = \sqrt{(3{,}0)^2 + (4{,}0)^2} \times 10^6

T=5,0×106 NT = 5{,}0 \times 10^6\ \text{N}

Item (b) — a geometria. O cabo AB faz 45° com a torre, e a torre é perpendicular ao tabuleiro. Então o triângulo AOB é retângulo em O e isósceles: OA=OB=L sen 45∘=252OA = OB = L\,\text{sen}\,45^{\circ} = 25\sqrt{2} m.

O torque. A força está aplicada em A, ao longo do cabo, a 45° do tabuleiro. Só a componente perpendicular a OA gira em torno de O, a componente vertical Tcos⁡45∘T\cos 45^{\circ}:

τ=(Tcos⁡45∘)(L sen 45∘)\tau = (T\cos 45^{\circ})(L\,\text{sen}\,45^{\circ})

τ=1,8×107×50×22×22\tau = 1{,}8 \times 10^7 \times 50 \times \frac{\sqrt{2}}{2} \times \frac{\sqrt{2}}{2}

τ=1,8×107×25=4,5×108 N⋅m\tau = 1{,}8 \times 10^7 \times 25 = 4{,}5 \times 10^8\ \text{N}\cdot\text{m}

Conferindo: outro jeito é usar o braço de alavanca, a distância de O até a linha do cabo. Num triângulo retângulo isósceles de hipotenusa 50 m, a altura relativa à hipotenusa vale metade dela, 25 m. E 1,8 × 10⁷ × 25 = 4,5 × 10⁸ N·m.

⚠️ A armadilha: multiplicar a força inteira pelo comprimento do cabo, 1,8×107×50=9,0×1081{,}8 \times 10^7 \times 50 = 9{,}0 \times 10^8 N·m. O torque usa a distância perpendicular entre O e a linha de ação da força, que é 25 m, não 50 m.

A ideia em uma frase: componentes perpendiculares se somam por Pitágoras; e torque é força vezes braço perpendicular, ou componente perpendicular vezes distância.

Resposta: (a) T=5,0×106T = 5{,}0 \times 10^6 N; (b) τ=4,5×108\tau = 4{,}5 \times 10^8 N·m.

Vídeo em breve

A resolução em vídeo desta questão ainda não foi gravada. A explicação escrita acima está completa, passo a passo. Novos vídeos saem no canal do Professor Filatte.

Prefere navegar prova por prova? Abra esta questão no Filatte Resolve.

Outras questões de Física do UNICAMP 2009 (2ª fase)

Gabarito e resolução de todas as questões de Física do UNICAMP 2009 (2ª fase) →

Mais questões de Estática, de todas as bancas, resolvidas passo a passo. Ver todos os assuntos →