UNICAMP 2009 (2ª fase) — questão 2 de Física

DiscursivaDinâmica — número de Reynolds (estimativa) e energia cinética de uma bactéria2ª fase · Física (discursiva)
Enunciado — imagem da prova
Enunciado da questão 2 de Física do UNICAMP 2009 (2ª fase)

Enunciado em texto

O aperfeiçoamento de aeronaves que se deslocam em altas velocidades exigiu o entendimento das forças que atuam sobre um corpo em movimento num fluido. Para isso, projetistas realizam testes aerodinâmicos com protótipos em túneis de vento. Para que o resultado dos testes corresponda à situação real das aeronaves em vôo, é preciso que ambos sejam caracterizados por valores similares de uma quantidade conhecida como número de Reynolds R. Esse número é definido como R=VLbR = \dfrac{VL}{b}, onde V é uma velocidade típica do movimento, L é um comprimento característico do corpo que se move e b é uma constante que depende do fluido.

a) Faça uma estimativa do comprimento total das asas e da velocidade de um avião e calcule o seu número de Reynolds. Para o ar, bar≅1,5×10−5 m2/sb_{ar} \cong 1{,}5 \times 10^{-5}\ \text{m}^2/\text{s}.

b) Uma situação de importância biotecnológica é o movimento de um micro-organismo num meio aquoso, que determina seu gasto energético e sua capacidade de encontrar alimento. O valor típico do número de Reynolds nesse caso é de cerca de 1,0×10−51{,}0 \times 10^{-5}, bastante diferente daquele referente ao movimento de um avião no ar. Sabendo que uma bactéria de 2,0 μm2{,}0\ \mu\text{m} de comprimento tem massa de 6,0×10−166{,}0 \times 10^{-16} kg, encontre a sua energia cinética média. Para a água, baˊgua≅1,0×10−6 m2/sb_{\text{\'agua}} \cong 1{,}0 \times 10^{-6}\ \text{m}^2/\text{s}.

(Enunciado: Vestibular Unicamp 2009, 2ª fase — Comvest/Unicamp.)

Transcrição do enunciado original da prova, reproduzido para fins de estudo. Todos os direitos do enunciado pertencem à UNICAMP.

Resolução comentada

O que a questão pede: (a) estimar o tamanho das asas e a velocidade de um avião e calcular o número de Reynolds; (b) a velocidade da bactéria, a partir do número de Reynolds, e depois a sua energia cinética.

Item (a) — a estimativa. Um jato de passageiros tem envergadura (asa a asa) de algumas dezenas de metros: tome L ≈ 50 m. A velocidade de cruzeiro está perto dos 800 km/h da questão 1, uns 220 m/s; tome V ≈ 250 m/s (900 km/h), como a banca:

R=VLb=250×501,5×10−5R = \frac{VL}{b} = \frac{250 \times 50}{1{,}5 \times 10^{-5}}

R=1,25×1041,5×10−5≈8,3×108R = \frac{1{,}25 \times 10^{4}}{1{,}5 \times 10^{-5}} \approx 8{,}3 \times 10^{8}

Qualquer estimativa razoável vale (por exemplo, L = 30 m e V = 220 m/s dão cerca de 4×1084 \times 10^8): o que importa é a ordem de grandeza, perto de 10910^9.

Item (b) — passo 1: a velocidade da bactéria. Isolando V na definição, com L = 2,0 μm = 2,0 × 10⁻⁶ m:

V=R bL=10−5×10−62,0×10−6V = \frac{R\,b}{L} = \frac{10^{-5} \times 10^{-6}}{2{,}0 \times 10^{-6}}

V=5,0×10−6 m/sV = 5{,}0 \times 10^{-6}\ \text{m/s}

Item (b) — passo 2: a energia cinética.

Ec=mV22E_c = \frac{m V^2}{2}

=6,0×10−16×25×10−122= \frac{6{,}0 \times 10^{-16} \times 25 \times 10^{-12}}{2}

Ec=7,5×10−27 JE_c = 7{,}5 \times 10^{-27}\ \text{J}

⚠️ A armadilha: no item (b), esquecer que 1 μm = 10⁻⁶ m, ou esquecer de elevar a velocidade ao quadrado. No item (a), usar o comprimento do avião em km ou a velocidade em km/h: o número de Reynolds não tem unidade só se tudo estiver no SI.

A ideia em uma frase: o número de Reynolds VL/b compara situações; com ele, a velocidade sai de V = Rb/L e a energia cinética de mV²/2.

Resposta: (a) com L ≈ 50 m e V ≈ 250 m/s, R≈8,3×108R \approx 8{,}3 \times 10^{8} (ordem de 10910^9); (b) Ec=7,5×10−27E_c = 7{,}5 \times 10^{-27} J (com V=5,0×10−6V = 5{,}0 \times 10^{-6} m/s).

Vídeo em breve

A resolução em vídeo desta questão ainda não foi gravada. A explicação escrita acima está completa, passo a passo. Novos vídeos saem no canal do Professor Filatte.

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