UNICAMP 2009 (2ª fase) — questão 4 de Física

DiscursivaOndas — oscilador massa-mola (energia elástica) e período do pêndulo com a temperatura2ª fase · Física (discursiva)
Enunciado — imagem da prova
Enunciado da questão 4 de Física do UNICAMP 2009 (2ª fase)

Enunciado em texto

A piezeletricidade também é importante nos relógios modernos que usam as vibrações de um cristal de quartzo como padrão de tempo e apresentam grande estabilidade com respeito a variações de temperatura.

a) Pode-se utilizar uma analogia entre as vibrações de um cristal de massa m e aquelas de um corpo de mesma massa preso a uma mola. Por exemplo: a freqüência de vibração do cristal e a sua energia potencial elástica também são dadas por f=12πkmf = \dfrac{1}{2\pi}\sqrt{\dfrac{k}{m}} e Ep=12kΔx2E_p = \dfrac{1}{2}k\Delta x^2, respectivamente, onde k é a propriedade do cristal análoga à constante elástica da mola e Δx\Delta x é o análogo da sua deformação. Um cristal de massa m = 5,0 g oscila com uma frequência de 30 kHz. Usando essa analogia, calcule a energia potencial elástica do cristal para Δx=0,020 μm\Delta x = 0{,}020\ \mu\text{m}. Utilize π = 3.

b) Em 1582, Galileu mostrou a utilidade do movimento pendular na construção de relógios. O período de um pêndulo simples depende do seu comprimento L. Este varia com a temperatura, o que produz pequenas alterações no período. No verão, um pêndulo com L = 90 cm executa um certo número de oscilações durante um tempo t = 1800 s. Calcule em quanto tempo esse pêndulo executará o mesmo número de oscilações no inverno, se com a diminuição da temperatura seu comprimento variar 0,20 cm, em módulo. Para uma pequena variação de comprimento ΔL\Delta L, a variação correspondente no tempo das oscilações Δt\Delta t é dada por Δtt=12ΔLL\dfrac{\Delta t}{t} = \dfrac{1}{2}\dfrac{\Delta L}{L}. Assim, Δt\Delta t pode ser positivo ou negativo, dependendo do sinal de ΔL\Delta L.

(Enunciado: Vestibular Unicamp 2009, 2ª fase — Comvest/Unicamp.)

Transcrição do enunciado original da prova, reproduzido para fins de estudo. Todos os direitos do enunciado pertencem à UNICAMP.

Resolução comentada

O que a questão pede: (a) a energia potencial elástica do cristal, achando antes a sua “constante elástica” k pela frequência; (b) o tempo das mesmas oscilações no inverno, quando o pêndulo encolhe 0,20 cm.

Item (a) — passo 1: k a partir de f. Elevando f=12πk/mf = \frac{1}{2\pi}\sqrt{k/m} ao quadrado, k=4π2f2mk = 4\pi^2 f^2 m. Com π = 3, f = 3,0 × 10⁴ Hz e m = 5,0 × 10⁻³ kg:

k=4×9×(3×104)2×5×10−3k = 4 \times 9 \times (3 \times 10^4)^2 \times 5 \times 10^{-3}

k=36×9×108×5×10−3k = 36 \times 9 \times 10^8 \times 5 \times 10^{-3}

k=1,62×108 N/mk = 1{,}62 \times 10^{8}\ \text{N/m}

Item (a) — passo 2: a energia. Δx = 0,020 μm = 2,0 × 10⁻⁸ m:

Ep=12×1,62×108×(2×10−8)2E_p = \frac{1}{2} \times 1{,}62 \times 10^8 \times (2 \times 10^{-8})^2

Ep=0,81×108×4×10−16E_p = 0{,}81 \times 10^8 \times 4 \times 10^{-16}

Ep≈3,2×10−8 JE_p \approx 3{,}2 \times 10^{-8}\ \text{J}

Item (b) — o sinal de ΔL. No frio, o pêndulo se contrai: ΔL = −0,20 cm. Pela fórmula dada:

Δt=t2 ΔLL=18002×−0,2090\Delta t = \frac{t}{2}\,\frac{\Delta L}{L} = \frac{1800}{2} \times \frac{-0{,}20}{90}

Δt=900×(−1450)=−2,0 s\Delta t = 900 \times \left(-\frac{1}{450}\right) = -2{,}0\ \text{s}

tinv=1800−2,0=1798 st_{\text{inv}} = 1800 - 2{,}0 = 1798\ \text{s}

Faz sentido: pêndulo mais curto oscila mais depressa, então faz as mesmas oscilações em menos tempo. (Um relógio de pêndulo adianta no inverno.)

⚠️ A armadilha: no item (b), somar os 2 s (1802 s), esquecendo que o comprimento diminui no inverno. No item (a), esquecer de converter 5,0 g para kg ou 30 kHz para Hz.

A ideia em uma frase: pela analogia com a mola, k = 4π²f²m e E = kΔx²/2; e o pêndulo que encolhe no frio oscila mais rápido.

Resposta: (a) Ep≈3,2×10−8E_p \approx 3{,}2 \times 10^{-8} J (com k=1,6×108k = 1{,}6 \times 10^{8} N/m); (b) 1798 s (2,0 s a menos).

Vídeo em breve

A resolução em vídeo desta questão ainda não foi gravada. A explicação escrita acima está completa, passo a passo. Novos vídeos saem no canal do Professor Filatte.

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