UNICAMP 2003 (2ª fase) — questão 8 de Física

Resolução comentada

O que a questão pede: (a) a frequência do piano desafinado, pelo período lido no gráfico; (b) quanto a tensão da corda deve aumentar para a frequência subir até 440 Hz.

Item (a) — o período da curva tracejada. Entre dois máximos seguidos da curva tracejada (em 0,6 e em 3,1, ou em 3,1 e em 5,6) passam $2{,}5 \times 10^{-3}$ s. Esse é o período:

$$f = \frac{1}{T} = \frac{1}{2{,}5 \times 10^{-3}} = 400\ \text{Hz}$$

(Conferindo com a curva contínua: máximos a cada $\approx 2{,}27 \times 10^{-3}$ s, ou seja, 440 Hz. A leitura está coerente.)

Item (b) — a corda vibrando no modo fundamental. No harmônico fundamental, a corda presa nas pontas forma meia onda, então $\lambda = 2L = 2{,}0$ m. A velocidade da onda na corda é $v = \lambda f$:

$$v_{400} = 2 \times 400 = 800\ \text{m/s}$$

$$v_{440} = 2 \times 440 = 880\ \text{m/s}$$

A velocidade numa corda depende da tensão $T$ e da densidade linear $\mu$: $v = \sqrt{T/\mu}$, ou seja, $T = \mu v^2$. A densidade linear no SI:

$$\mu = 5{,}0 \times 10^{-2}\ \tfrac{\text{g}}{\text{cm}} = 5{,}0 \times 10^{-3}\ \tfrac{\text{kg}}{\text{m}}$$

$$T_{400} = 5 \times 10^{-3} \times 800^2 = 3200\ \text{N}$$

$$T_{440} = 5 \times 10^{-3} \times 880^2 \approx 3870\ \text{N}$$

O aumento de tensão é:

$$\Delta T = 3870 - 3200 \approx 6{,}7 \times 10^{2}\ \text{N}$$

(A banca apresentou as duas tensões, 3 200 N e cerca de 3 850 N; a diferença é de quase 700 N.)

⚠️ A armadilha: converter a densidade linear errado. 1 g/cm = 0,1 kg/m, então $5{,}0 \times 10^{-2}$ g/cm = $5{,}0 \times 10^{-3}$ kg/m. Outro erro é usar $\lambda = L$ no modo fundamental: a corda forma meia onda, então $\lambda = 2L$.

A ideia em uma frase: a frequência da corda cresce com a raiz da tensão; para subir de 400 Hz para 440 Hz (10%), a tensão precisa subir cerca de 21%.

Resposta: (a) 400 Hz; (b) a tensão deve passar de 3 200 N para cerca de 3 870 N, um aumento de aproximadamente $6{,}7 \times 10^2$ N.