UNICAMP 2003 (2ª fase) — questão 7 de Física

Resolução comentada

O que a questão pede: (a) a menor altura do olho que ainda enxerga a moeda inteira com a caneca vazia; (b) a mesma altura com a caneca cheia de água.

Item (a) — o ponto mais difícil de ver. O observador está à direita. A borda da caneca do lado dele esconde a parte da moeda mais próxima dessa parede. Então o ponto crítico é a borda direita da moeda: se o olho vê esse ponto, vê a moeda toda.

A moeda tem raio $0{,}5\,d_M$ e a caneca, raio $1{,}5\,d_M$. Assim, a borda direita da moeda fica a $1\,d_M$ (na horizontal) da parede, e $4\,d_M$ abaixo do topo. O raio de luz que sai dela e passa raspando na borda da caneca sobe $4\,d_M$ a cada $1\,d_M$ que anda na horizontal. Andando mais $9\,d_M$ até o observador, ele sobe:

$$\frac{h}{9\,d_M} = \frac{4\,d_M}{1\,d_M}$$

$$h = 36\,d_M$$

Item (b) — a refração na superfície da água. Com a caneca cheia, o raio crítico ainda sai da borda direita da moeda e passa pela borda da caneca, mas agora se refrata ao sair da água, exatamente na borda. Na água, o ângulo com a vertical (a normal) é $\theta_2$, com catetos $1\,d_M$ e $4\,d_M$:

$$\text{sen}\,\theta_2 = \frac{1}{\sqrt{1^2 + 4^2}} = \frac{1}{\sqrt{17}}$$

Pela lei de Snell, com $n_{\text{ar}} = 1$:

$$\text{sen}\,\theta_1 = 1{,}3 \times \frac{1}{\sqrt{17}}$$

$$\text{sen}^2\theta_1 = \frac{1{,}69}{17} \approx 0{,}1$$

No ar, o raio vai da borda da caneca até o olho: anda $9\,d_M$ na horizontal e sobe $h$. Então:

$$\text{sen}^2\theta_1 = \frac{81}{81 + h^2} = 0{,}1$$

$$81 + h^2 = 810 \Rightarrow h^2 = 729$$

$$h = 27\,d_M$$

Solução alternativa (aproximada, aceita pela banca): usar a profundidade aparente. A moeda parece estar a $4\,d_M/1{,}3 \approx 3{,}08\,d_M$ do topo; refazendo a semelhança do item (a), $h = 9 \times 3{,}08 \approx 27{,}7\,d_M$.

Conferindo: com água, a moeda “sobe” (parece mais rasa), e o observador pode ficar mais baixo: 27 $d_M$ contra 36 $d_M$. É o velho truque da moeda que “aparece” no copo quando se põe água.

⚠️ A armadilha: usar o centro da moeda (que está a $1{,}5\,d_M$ da parede) em vez da borda mais próxima da parede: daria $h = 9 \times 4/1{,}5 = 24\,d_M$, e o olho veria só parte da moeda.

A ideia em uma frase: o ponto que manda é a borda da moeda colada à parede do lado do observador; sem água, a luz anda em linha reta; com água, ela se dobra ao sair e o observador pode ficar mais baixo.

Resposta: (a) $h = 36\,d_M$; (b) $h = 27\,d_M$ (pela aproximação da profundidade aparente, $\approx 27{,}7\,d_M$).