UNICAMP 2003 (2ª fase) — questão 12 de Física

DiscursivaDinâmica — oscilador harmônico: constante elástica e velocidade máxima (nanotubos)2ª fase · Física (discursiva)
Enunciado — imagem da prova
Enunciado da questão 12 de Física do UNICAMP 2003 (2ª fase)

Enunciado em texto

Utilize g = 10 m/s² sempre que necessário na resolução dos problemas.

Os átomos de carbono têm a propriedade de se ligarem formando materiais muito distintos entre si, como o diamante, o grafite e os diversos polímeros. Há alguns anos foi descoberto um novo arranjo para esses átomos: os nanotubos, cujas paredes são malhas de átomos de carbono. O diâmetro desses tubos é de apenas alguns nanometros (1 nm=10−91\ \text{nm} = 10^{-9} m). No ano passado, foi possível montar um sistema no qual um “nanotubo de carbono” fechado nas pontas oscila no interior de um outro nanotubo de diâmetro maior e aberto nas extremidades, conforme ilustração abaixo. As interações entre os dois tubos dão origem a uma força restauradora representada no gráfico. 1 nN=10−91\ \text{nN} = 10^{-9} N.

(Figura da esquerda: sete desenhos, de (A) a (G), mostrando o tubo interno em posições sucessivas dentro do tubo externo: centrado em (A), deslocando-se para a direita em (B), no extremo direito, saindo parcialmente do tubo externo, em (C), voltando para a esquerda em (D) e (E), no extremo esquerdo, saindo parcialmente pelo outro lado, em (F), e de novo centrado, indo para a direita, em (G).)

(Gráfico da direita: Força (nN), de −1,5 a 1,5, em função de X (nm), de −30 a 30. Os pontos estão sobre uma reta que passa pela origem, com inclinação negativa: F (cerca de −29 nm; +1,45 nN), E (cerca de −14 nm; +0,7 nN), A (0; 0), D (cerca de 15 nm; −0,75 nN), B (20 nm; −1,0 nN) e C (30 nm; −1,5 nN).)

a) Encontre, por meio do gráfico, a constante de mola desse oscilador.

b) O tubo oscilante é constituído de 90 átomos de carbono. Qual é a velocidade máxima desse tubo, sabendo-se que um átomo de carbono equivale a uma massa de 2×10−262 \times 10^{-26} kg.

(Enunciado e figura: Vestibular Unicamp 2003, 2ª fase — Comvest/Unicamp.)

Transcrição do enunciado original da prova, reproduzido para fins de estudo. Todos os direitos do enunciado pertencem à UNICAMP.

Resolução comentada

O que a questão pede: (a) a constante elástica, pela inclinação da reta do gráfico; (b) a velocidade do tubo interno quando ele passa pelo centro.

Item (a) — lei de Hooke. O gráfico é uma reta pela origem com inclinação negativa: é uma força restauradora do tipo F=−kxF = -kx. Pelo ponto C:

k=−Fx=1,5×10−930×10−9k = -\frac{F}{x} = \frac{1{,}5 \times 10^{-9}}{30 \times 10^{-9}}

k=0,05 N/mk = 0{,}05\ \text{N/m}

Item (b) — conservação da energia. O tubo vai de um extremo ao outro (os pontos C e F do gráfico, a cerca de 30 nm do centro). Nos extremos ele para; no centro (ponto A), a força é nula e a velocidade é máxima. Toda a energia potencial elástica do extremo vira energia cinética no centro:

mvmax22=k xmax22\frac{m v_{\text{max}}^2}{2} = \frac{k\,x_{\text{max}}^2}{2}

A massa do tubo:

m=90×2×10−26=1,8×10−24 kgm = 90 \times 2 \times 10^{-26} = 1{,}8 \times 10^{-24}\ \text{kg}

Então:

vmax=xmaxkmv_{\text{max}} = x_{\text{max}}\sqrt{\frac{k}{m}}

vmax=30×10−90,051,8×10−24v_{\text{max}} = 30 \times 10^{-9}\sqrt{\frac{0{,}05}{1{,}8 \times 10^{-24}}}

vmax=30×10−9×1,67×1011v_{\text{max}} = 30 \times 10^{-9} \times 1{,}67 \times 10^{11}

vmax≈5×103 m/sv_{\text{max}} \approx 5 \times 10^{3}\ \text{m/s}

Conferindo: 5 000 m/s parece enorme, mas a massa é ínfima (10−2410^{-24} kg) e a mola, comparativamente, é “dura”. O período sai da ordem de 2πm/k≈4×10−112\pi\sqrt{m/k} \approx 4 \times 10^{-11} s: o tubo oscila a dezenas de gigahertz.

⚠️ A armadilha: no item (a), dar k=−0,05k = -0{,}05 N/m, confundindo o sinal da inclinação do gráfico com o sinal da constante. O sinal negativo já está na lei F=−kxF = -kx (a força é contrária ao deslocamento); a constante de mola é positiva.

A ideia em uma frase: reta pela origem com inclinação negativa é lei de Hooke; no extremo a energia é toda elástica, no centro é toda cinética.

Resposta: (a) k=0,05k = 0{,}05 N/m; (b) vmax≈5×103v_{\text{max}} \approx 5 \times 10^3 m/s.

Vídeo em breve

A resolução em vídeo desta questão ainda não foi gravada. A explicação escrita acima está completa, passo a passo. Novos vídeos saem no canal do Professor Filatte.

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