UNICAMP 2003 (2ª fase) — questão 3 de Física

Resolução comentada

O que a questão pede: (a) o período de um planeta hipotético no lugar do cinturão de asteroides; (b) se o ano de Mercúrio é maior ou menor que o da Terra.

Item (a) — comparar com a Terra. A razão $T^2/R^3$ é a mesma para todos os planetas do Sistema Solar. Medindo $T$ em anos e $R$ em UA, para a Terra ela vale $1^2/1^3 = 1$. Então, para o planeta do cinturão:

$$\frac{T_A^2}{R_A^3} = \frac{T_T^2}{R_T^3} = 1$$

Pela figura, o cinturão fica por volta de $R_A \approx 2{,}7$ UA:

$$T_A^2 = 2{,}7^3 \approx 19{,}7$$

$$T_A \approx 4{,}4\ \text{anos}$$

Como a posição é lida na figura, a banca aceitou de 3,9 a 4,7 anos (por exemplo, com $R_A = 2{,}5$ UA dá cerca de 4 anos).

Item (b) — mais perto, mais rápido. Mercúrio está mais perto do Sol que a Terra ($R_M < R_T$). Como $T^2$ é proporcional a $R^3$, raio menor dá período menor:

$$T_M^2 = T_T^2\,\frac{R_M^3}{R_T^3} < T_T^2$$

O ano de Mercúrio é mais curto que o terrestre (na realidade, cerca de 88 dias).

⚠️ A armadilha: usar proporção direta, $T \propto R$, e responder 2,7 anos. A lei de Kepler relaciona o quadrado do período com o cubo do raio: $T = R^{3/2}$ (em anos e UA).

A ideia em uma frase: pela terceira lei de Kepler, quanto mais longe do Sol, mais longo o ano, e o período cresce mais depressa que a distância.

Resposta: (a) cerca de 4,4 anos (para R ≈ 2,7 UA; aceitava-se de 3,9 a 4,7 anos); (b) mais curto.