ITA 2027 — questão 23 de Física

Resolução comentada

O que a questão pede: o campo que faz as duas esferas se aproximarem até um ângulo mínimo $2\alpha$ e ali pararem. A palavra "mínimo" é o enunciado inteiro: no ângulo mínimo a velocidade é zero.

Passo 0 — por que isto é energia e não força. São dois estados de repouso: o inicial (ângulo $\beta$, soltas) e o de ângulo mínimo (ângulo $2\alpha$, velocidade nula). Entre dois repousos, a conservação da energia liga tudo sem precisar saber nada do que acontece no meio. Tentar isto por força daria equação diferencial.

Passo 1 — a geometria, com um só parâmetro. Chame de $\theta$ o ângulo de cada barra com a vertical; o ângulo entre elas é $2\theta$. Então:

• cada esfera está a uma altura $-\ell\cos\theta$ abaixo do ponto de fixação;

• a distância entre as esferas é a corda $2\ell\operatorname{sen}\theta$.

O estado inicial é $\theta = \beta/2$ e o final é $\theta = \alpha$.

Passo 2 — as três energias potenciais.

Gravitacional (as duas esferas):

$$U_g = -2mg\ell\cos\theta$$

Do campo elétrico. O campo é $\vec{E} = -E\hat{y}$ e a carga é $+Q$, então a força elétrica sobre cada esfera é $QE$ para baixo — na mesma direção do peso. A energia potencial correspondente é $+QEy$, ou seja:

$$U_E = -2QE\ell\cos\theta$$

Eletrostática, entre as duas cargas:

$$U_C = \frac{kQ^{2}}{2\ell\operatorname{sen}\theta}$$

Repare no que acabou de acontecer: peso e força elétrica entram do mesmo jeito, e por isso aparecem sempre juntos, como $(mg+QE)$. É daí que virá o $-mg/Q$ do final.

$$U(\theta) = -2(mg+QE)\ell\cos\theta + \frac{kQ^{2}}{2\ell\operatorname{sen}\theta}$$

Passo 3 — conservação entre os dois repousos.

$$U\!\left(\tfrac{\beta}{2}\right) = U(\alpha)$$

$$-2(mg+QE)\ell\cos\tfrac{\beta}{2} + \frac{kQ^{2}}{2\ell\operatorname{sen}(\beta/2)} = -2(mg+QE)\ell\cos\alpha + \frac{kQ^{2}}{2\ell\operatorname{sen}\alpha}$$

$$2(mg+QE)\ell\left[\cos\alpha-\cos\tfrac{\beta}{2}\right] = \frac{kQ^{2}}{2\ell}\left[\frac{1}{\operatorname{sen}\alpha}-\frac{1}{\operatorname{sen}(\beta/2)}\right]$$

Passo 4 — isole $E$.

$$mg+QE = \frac{kQ^{2}}{4\ell^{2}}\cdot\frac{\frac{1}{\operatorname{sen}\alpha}-\frac{1}{\operatorname{sen}(\beta/2)}}{\cos\alpha-\cos(\beta/2)}$$

$$\boxed{\;E = \frac{kQ}{4\ell^{2}}\cdot\frac{\frac{1}{\operatorname{sen}\alpha}-\frac{1}{\operatorname{sen}(\beta/2)}}{\cos\alpha-\cos(\beta/2)} \;-\; \frac{mg}{Q}\;}$$

É a alternativa A.

Passo 5 — a conferência de sinais, e ela é obrigatória aqui. Como o ângulo diminui, $\alpha < \beta/2$. Então:

• $\operatorname{sen}\alpha < \operatorname{sen}(\beta/2)$, logo $\dfrac{1}{\operatorname{sen}\alpha} > \dfrac{1}{\operatorname{sen}(\beta/2)}$ — numerador positivo;

• $\cos\alpha > \cos(\beta/2)$ — denominador positivo.

A fração é positiva, como tem de ser: ela é $(mg+QE)/(kQ^{2}/4\ell^{2})$, que é positivo. E o $-mg/Q$ no fim diz que parte do trabalho de fechar o ângulo já é feita pelo peso; o campo só precisa completar. Se a gravidade sozinha já fechasse até $2\alpha$, o $E$ sairia negativo — e o campo precisaria apontar para cima.

⚠️ A armadilha das alternativas C, D e E: o denominador invertido. $\cos(\beta/2)-\cos\alpha$ é negativo, e com numerador positivo a fração inteira ficaria negativa — dizendo que o campo é para cima, o que contradiz a física do problema (o campo é que empurra as esferas para baixo e para dentro). Trocar a ordem dos cossenos troca o sinal da resposta inteira.

⚠️ A armadilha da (B): $+mg/Q$. Vem de isolar errado: de $mg + QE = X$ sai $E = X/Q - mg/Q$, com menos. O sinal de mais diria que a gravidade atrapalha o fechamento do ângulo — e ela ajuda, porque puxa as esferas para baixo, isto é, para a vertical.

⚠️ A armadilha da (E): soma no numerador. $\frac{1}{\operatorname{sen}\alpha}+\frac{1}{\operatorname{sen}(\beta/2)}$ nunca poderia aparecer: a energia coulombiana entra como diferença entre os dois estados. Diferença de energia é subtração, sempre.

Por que a repulsão é o que segura. As duas cargas são positivas e se repelem; quanto mais perto, mais repelem — $U_C \propto 1/\operatorname{sen}\theta$ explode quando $\theta\to 0$. É essa explosão que garante que existe um ângulo mínimo: por mais forte que seja o campo, as esferas nunca se tocam. O sistema oscila para sempre entre $2\alpha$ e $\beta$, como um pêndulo — e, de fato, sem resistência do ar, ele volta a abrir até $\beta$ e recomeça.

⚠️ Um detalhe que a questão esconde bem. As esferas são metálicas, o que normalmente traria indução entre elas. O enunciado corta isso dizendo "puntiformes": sem tamanho, não há redistribuição de carga. Adjetivo em enunciado de física costuma ser hipótese disfarçada.

A ideia em uma frase: entre dois repousos vale energia — e peso e força elétrica entram juntos, como $(mg+QE)$, o que explica o $-mg/Q$ do final.

Resposta: alternativa A.