ITA 2027 — questão 18 de Física

Resolução comentada

O que a questão pede: para quais rotações a miçanga tem um ponto de equilíbrio estável fora do fundo do aro. É o problema clássico da bifurcação — e ele tem uma resposta de uma linha se você usar energia potencial efetiva.

Passo 1 — monte a energia potencial efetiva no referencial girante. O enunciado já autoriza esse referencial ("um observador que gira junto com o aro"). Medindo $\theta$ a partir do ponto mais baixo do aro, a miçanga está a uma altura $-R\cos\theta$ do centro e a uma distância $R\operatorname{sen}\theta$ do eixo.

$$U_{\text{ef}}(\theta) = \underbrace{-mgR\cos\theta}_{\text{gravidade}} \;-\; \underbrace{\tfrac{1}{2}m\Omega^{2}R^{2}\operatorname{sen}^{2}\theta}_{\text{potencial centrífugo}}$$

O segundo termo é a peça nova. No referencial girante a força centrífuga é real (de inércia) e conservativa, com potencial $-\frac{1}{2}m\Omega^{2}r^{2}$. Ela empurra a miçanga para longe do eixo, ou seja, para cima ao longo do aro.

Passo 2 — onde estão os equilíbrios.

$$\frac{dU_{\text{ef}}}{d\theta} = mgR\operatorname{sen}\theta - m\Omega^{2}R^{2}\operatorname{sen}\theta\cos\theta = mR\operatorname{sen}\theta\,(g - \Omega^{2}R\cos\theta) = 0$$

Dois casos:

• $\operatorname{sen}\theta = 0$ — o fundo ($\theta=0$) e o topo ($\theta=\pi$) do aro. Existem sempre.

• $\cos\theta_0 = \dfrac{g}{\Omega^{2}R}$ — e este só existe se $\dfrac{g}{\Omega^{2}R} \le 1$, isto é, se

$$\Omega^{2} \ge \frac{g}{R} \;\Longleftrightarrow\; \Omega \ge \sqrt{\frac{g}{R}}$$

Passo 3 — e ele é estável? Derivando de novo e avaliando em $\theta_0$, onde $g = \Omega^{2}R\cos\theta_0$:

$$\left.\frac{d^{2}U_{\text{ef}}}{d\theta^{2}}\right|_{\theta_0} = m\Omega^{2}R^{2}\operatorname{sen}^{2}\theta_0 \;>\; 0$$

Positivo: é mínimo de energia, logo equilíbrio ESTÁVEL — sempre que existir. E quando existe, é porque $\Omega > \sqrt{g/R}$.

$$\boxed{\;\Omega \in \left]\sqrt{g/R},\,+\infty\right[\;}$$

É a alternativa A.

O que acontece exatamente em $\Omega = \sqrt{g/R}$. Aí $\cos\theta_0 = 1$, ou seja, $\theta_0 = 0$ — o novo equilíbrio nasce colado no fundo. Como a questão exige $\theta_0 > 0°$ estritamente, esse valor fica de fora, e por isso o intervalo é aberto. As cinco alternativas usam colchete invertido justamente para marcar isso.

A troca de estabilidade, que é o fenômeno da questão. Analisando o fundo do aro ($\theta=0$):

$$\left.\frac{d^{2}U_{\text{ef}}}{d\theta^{2}}\right|_{0} = mR\,(g - \Omega^{2}R)$$

Ou seja: o fundo perde a estabilidade exatamente no instante em que o novo equilíbrio aparece. A miçanga que estava parada no fundo "sobe" pela lateral, e quanto mais rápido o aro gira, mais alto ela fica. Isso se chama bifurcação em forquilha (pitchfork), e é o mesmo mecanismo do regulador de esferas de Watt, da máquina a vapor.

⚠️ A armadilha da (B), $\sqrt{2g/R}$. O fator 2 aparece se você errar o potencial centrífugo, escrevendo $-m\Omega^{2}R^{2}\operatorname{sen}^{2}\theta$ sem o $\frac{1}{2}$, ou se confundir com a condição de "dar a volta completa" de um pêndulo no plano vertical, que é onde o $\sqrt{2g/R}$ costuma morar. Aqui não há volta completa: a miçanga desliza no aro, não voa.

⚠️ A armadilha da (C) e da (D): o intervalo invertido. Para $\Omega$ pequeno a miçanga fica no fundo, em $\theta_0 = 0$ — que é justamente o que a questão exclui. Quem lê "equilíbrio estável" sem ver o "$\theta_0 > 0°$" marca (C). A condição do ângulo positivo é o enunciado inteiro.

⚠️ A armadilha da (E). É dizer que para qualquer rotação existe equilíbrio estável fora do fundo. Basta o caso extremo: com o aro girando devagarinho, a miçanga obviamente fica embaixo. Teste sempre a alternativa "sempre" com um caso extremo.

Um número para sentir a escala. Com $R = 20$ cm, $\sqrt{g/R} = \sqrt{10/0{,}2} \approx 7{,}1$ rad/s, ou cerca de 68 rpm — uma rotação modesta, que qualquer motorzinho alcança. Acima dela a miçanga sobe; abaixo, desce. E a subida é contínua a partir de zero, não um salto: é assim que uma bifurcação em forquilha se manifesta no laboratório.

A ideia em uma frase: o equilíbrio fora do fundo nasce quando a centrífuga no fundo supera a gravidade — e isso é exatamente $\Omega^{2}R > g$.

Resposta: alternativa A.