ITA 2027 — questão 21 de Física

Resolução comentada

O que a questão pede: desenhar o caminho da luz dentro de um material de índice de refração negativo. É conteúdo de pesquisa recente entrando no vestibular — mas a ferramenta é a lei de Snell de sempre.

Passo 1 — qual é o índice. A prova deu, no bloco de dados, $n^{2} = \mu_r\varepsilon_r$. Com $\varepsilon_r = \mu_r = -1$:

$$n^{2} = (-1)(-1) = 1 \;\Longrightarrow\; n = \pm 1$$

E a escolha do sinal não é livre: quando as duas constantes são negativas, a solução fisicamente correta das equações de Maxwell é $n = -1$. É esse o "metamaterial ideal" do enunciado — previsto por Veselago em 1968 e fabricado pela primeira vez em 2000.

Passo 2 — o que $n$ negativo faz com um raio. Pela lei de Snell,

$$1\cdot\operatorname{sen}\theta_i = n\cdot\operatorname{sen}\theta_r = -\operatorname{sen}\theta_r \;\Longrightarrow\; \theta_r = -\theta_i$$

O ângulo tem o mesmo módulo, mas o raio refratado sai do MESMO lado da normal que o incidente — e não do lado oposto, como em todo material comum. Na prática: um raio que chega subindo passa a andar descendo dentro da placa.

Esse é o único fato novo da questão. Tudo o mais é geometria de triângulos.

Passo 3 — o primeiro foco, dentro da placa. O raio 1 sai de $S$ subindo com inclinação $\operatorname{tg}\theta$ e atinge a face esquerda a uma altura

$$y_1 = \frac{3d}{4}\operatorname{tg}\theta$$

Dentro da placa ele passa a descer com a mesma inclinação. Para voltar ao eixo precisa percorrer horizontalmente

$$\frac{y_1}{\operatorname{tg}\theta} = \frac{3d}{4}$$

Primeiro foco: a $3d/4$ da face de entrada — ou seja, DENTRO da placa, já que $3d/4 < d$. E o raio 3, simétrico, chega ao mesmo ponto. A imagem se forma no interior do material.

Passo 4 — o segundo foco, fora da placa. Passado o foco interno, ainda restam

$$d - \frac{3d}{4} = \frac{d}{4}$$

até a face direita. O raio 1, que agora desce, chega a essa face a uma altura $-\frac{d}{4}\operatorname{tg}\theta$. Ao sair, refrata de novo com $n=-1$: passa a subir. Volta ao eixo depois de

$$\frac{(d/4)\operatorname{tg}\theta}{\operatorname{tg}\theta} = \frac{d}{4}$$

Segundo foco: a $d/4$ DEPOIS da face de saída. E dali em diante os raios divergem, com a mesma abertura com que saíram de $S$.

$$\boxed{\;\text{foco interno a } \tfrac{3d}{4}\ \text{da entrada} \;\cdot\; \text{foco externo a } \tfrac{d}{4}\ \text{da saída}\;}$$

A única figura com esses dois focos, nessas duas posições, e com os raios divergindo depois é a alternativa B.

A regra geral, que vale a pena guardar. Para uma lâmina de $n=-1$ e espessura $d$ com o objeto a uma distância $a < d$:

$$\text{foco interno: } a \text{ da entrada} \qquad \text{foco externo: } d-a \text{ da saída}$$

Com $a = 3d/4$ isso dá $3d/4$ e $d/4$ — exatamente o medido. E note que a soma objeto→imagem é sempre $2d$, independente de $a$.

⚠️ A armadilha da (C): refração comum. Nela os raios entram e viajam paralelos ao eixo dentro da placa, saindo deslocados — que é o que uma lâmina de vidro ($n>1$) faz. Lâmina de faces paralelas comum desloca o raio; ela não o faz cruzar o eixo.

⚠️ A armadilha da (D): um foco só. Os raios convergem dentro da placa e depois saem divergindo, sem o segundo cruzamento. Isso esquece que a refração acontece de novo na saída, e com o mesmo sinal invertido.

⚠️ A armadilha da (E), que é a mais fina da questão. O desenho tem os dois focos, na topologia certa — mas os ângulos estão errados: os raios saem da placa com inclinação menor do que entraram, e por isso o foco externo aparece lá pelos $d/2$. Com $|n| = 1$ nos dois meios, o ângulo de saída tem de ser idêntico ao de entrada. Foi medindo as inclinações, e não olhando o formato, que essa alternativa caiu.

⚠️ E a armadilha da (A). Os raios atravessam sem nunca voltar ao eixo: é o desenho de quem aplicou Snell com $n = +1$, isto é, nenhum desvio, e depois torceu as linhas.

O que isso tem de extraordinário. Uma lâmina de faces planas e paralelas formando imagem real é algo impossível na óptica comum — lente precisa ser curva. Com $n=-1$, a placa plana faz imagem, e sem aberração esférica, porque a construção acima vale para qualquer $\theta$, não só para ângulos pequenos. É a perfect lens de John Pendry (2000). Na prática, metamateriais reais têm perdas e funcionam em faixas estreitas de frequência — o "ideal" do enunciado está lá justamente para dispensar isso.

A ideia em uma frase: com $n=-1$ o raio refratado fica do mesmo lado da normal — e uma placa plana passa a ter dois focos, um a $3d/4$ dentro e outro a $d/4$ fora.

Resposta: alternativa B.