ITA 2027 — questão 20 de Física

Resolução comentada

O que a questão pede: achar a altura $h$ onde a temperatura do ar muda, sabendo o atraso entre ver e ouvir a explosão. Ela é uma questão de geometria com duas velocidades — a física nova é uma só.

Passo 1 — a física nova: a velocidade do som depende da raiz da temperatura.

$$\begin{gathered}c = \sqrt{\frac{\gamma R T}{M}} \;\Longrightarrow\; \frac{c}{c_0} = \sqrt{\frac{T}{T_0}} \\ \Longrightarrow\; c_i = c_0\sqrt{\frac{T_i}{T_0}}\end{gathered}$$

É daqui que saem todas as raízes das alternativas. Ar mais quente conduz som mais rápido, e a dependência é com $\sqrt{T}$, não com $T$.

Passo 2 — a geometria, e é aqui que mora o $0{,}8$. A luz chega praticamente instantaneamente, então $\Delta t$ é o tempo do som. O caminho vai do chão, a 30 m de distância, até o topo do prédio, a 40 m de altura:

$$L = \sqrt{30^{2}+40^{2}} = 50\ \text{m}$$

O célebre triângulo 3–4–5, que é o motivo de a prova ter escolhido 30 e 40. Por cada metro de subida, o raio sonoro percorre

$$\frac{L}{H} = \frac{50}{40} = 1{,}25\ \text{m}$$

Logo, no trecho de baixo (do solo até $h$) o som percorre $1{,}25\,h$, e no trecho de cima, $1{,}25\,(H-h)$.

E é exatamente para isto que serve a aproximação $\operatorname{sen}(\theta+\Delta\theta)\approx\operatorname{sen}\theta$ dada no enunciado: ao passar de $T_1$ para $T_2$ o raio sofre refração e muda de direção um pouquinho; a aproximação autoriza tratar o caminho como uma reta só, de 50 m, partida em duas.

Passo 3 — some os dois tempos.

$$\begin{gathered}\Delta t = \frac{1{,}25\,h}{c_1} + \frac{1{,}25\,(H-h)}{c_2} \\ = \frac{1{,}25}{c_0}\left[h\sqrt{\frac{T_0}{T_1}} + (H-h)\sqrt{\frac{T_0}{T_2}}\right]\end{gathered}$$

Passo 4 — isole $h$. Multiplique tudo por $\dfrac{c_0}{1{,}25} = 0{,}8\,c_0$:

$$0{,}8\,c_0\,\Delta t = h\sqrt{\frac{T_0}{T_1}} + (H-h)\sqrt{\frac{T_0}{T_2}}$$

E aí está o $0{,}8$: ele é o inverso do $1{,}25$, e aparece porque passamos o fator geométrico para o outro lado.

$$\begin{gathered}0{,}8\,c_0\Delta t - H\sqrt{\frac{T_0}{T_2}} \\ = h\sqrt{T_0}\left(\frac{1}{\sqrt{T_1}}-\frac{1}{\sqrt{T_2}}\right) \\ = h\sqrt{T_0}\,\frac{\sqrt{T_2}-\sqrt{T_1}}{\sqrt{T_1T_2}}\end{gathered}$$

$$\boxed{\begin{gathered}h = \sqrt{\frac{T_1T_2}{T_0}}\left(0{,}8\,c_0\Delta t - H\sqrt{\frac{T_0}{T_2}}\right) \\ \cdot\frac{1}{\sqrt{T_2}-\sqrt{T_1}}\end{gathered}}$$

É a alternativa D.

Como as cinco alternativas se separam — e vale decorar esse método. Elas diferem em apenas três bits:

Só a D acerta os três. E dá para eliminar sem fazer a conta inteira: $1{,}25$ e $0{,}8$ não podem ambos estar certos, e o denominador tem de vir de uma subtração de frações, que sempre produz diferença no numerador.

⚠️ A armadilha do $1{,}25$ versus $0{,}8$. O caminho é $1{,}25$ vezes a altura — isso está certo. Mas na fórmula final o que aparece é o inverso, porque $\Delta t$ foi multiplicado por $c_0/1{,}25$. Quem lembra "1,25" e procura 1,25 na resposta cai na (A). Regra prática: se o fator multiplica o comprimento, ele divide o tempo.

⚠️ A armadilha do denominador com sinal $+$. $\dfrac{1}{\sqrt{T_1}}-\dfrac{1}{\sqrt{T_2}}$ vira $\dfrac{\sqrt{T_2}-\sqrt{T_1}}{\sqrt{T_1T_2}}$ — subtração de frações dá diferença, nunca soma. A soma só apareceria se fosse $\frac{1}{\sqrt{T_1}}+\frac{1}{\sqrt{T_2}}$, que não é o caso.

Teste de sinal, que é sempre o último passo numa questão de fórmula. Como $T_2 > T_1$, o denominador $\sqrt{T_2}-\sqrt{T_1}$ é positivo. E o parêntese? $0{,}8c_0\Delta t$ é o caminho de 50 m "convertido" para altura equivalente à velocidade $c_0$, e subtrair $H\sqrt{T_0/T_2}$ tira o que o trecho superior consumiria se fosse tudo $T_2$. Como $T_1 < T_2$, o som demora mais embaixo, e sobra tempo: o parêntese é positivo. Logo $h > 0$, como tem de ser. Na alternativa B, com denominador $\sqrt{T_2}+\sqrt{T_1}$, $h$ sairia pequeno demais; na E, com o sinal $+$ no parêntese, $h$ sairia maior que $H$.

O que é uma inversão térmica, e por que ela aparece numa questão de som. Normalmente o ar esfria com a altura. Na inversão, uma camada quente fica por cima de uma fria — típico de manhãs de inverno em São Paulo, e uma das causas do ar parado que segura poluição. Para o som, essa camada é um espelho: como o ar de cima é mais rápido, o raio sonoro que sobe curva de volta para o chão. É por isso que em noites de inversão se ouve trem, avião ou tiro de muito longe, com uma nitidez que não há de dia. O engenheiro do enunciado está usando o som para medir a espessura de uma camada de ar que ele não consegue ver.

A ideia em uma frase: o som percorre 1,25 m por metro de altura, e a velocidade em cada camada é $c_0\sqrt{T/T_0}$ — o resto é isolar $h$ sem trocar 1,25 por 0,8 na hora errada.

Resposta: alternativa D.